Utilisateur:Otto Cyber/brouillon

Soit et . Il existe par hypothèse tel que pour tout t tel que , on a . D'autre part,

avec

, .

Soit un réel strictement supérieur à l'abscisse de convergence de et , . On a

où l'intégrale de droite est convergente, donc lorsque . D'autre part,

et ce terme tend vers lorsque . Enfin,

et ce terme tend vers 0 lorsque . Finalement, en regroupant les inégalités ci-dessus, on obtient

.

Or, est arbitrairement petit, donc cette limite est nulle.