Soit
et
. Il existe par hypothèse
tel que pour tout t tel que
, on a
. D'autre part,
![{\displaystyle p\int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-pt}dt=I_{1}+I_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a125809cf04397399aa27145b3cfd3e76d99b5)
avec
,
.
Soit
un réel strictement supérieur à l'abscisse de convergence de
et
,
. On a
![{\displaystyle \left\vert I_{2}\right\vert =\left\vert \int _{\eta }^{+\infty }f(t)e^{-\left(p-\alpha \right)t}e^{-\alpha t}dt\right\vert \leq pe^{-\left(p-\alpha \right)\eta }\int _{0}^{+\infty }\left\vert f\left(t\right)\right\vert e^{-\alpha t}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/679e8b5ee68b12d4a001f2812be4fd12fcdbff1f)
où l'intégrale de droite est convergente, donc
lorsque
. D'autre part,
![{\displaystyle \left\vert I_{1}-p\int _{0}^{\eta }le^{-pt}dt\right\vert \leq p\varepsilon \int _{0}^{\eta }e^{-pt}dt=\varepsilon \left(1-e^{-p\eta }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211b3f6782c338cd6c12465fc23bd19562492a00)
et ce terme tend vers
lorsque
. Enfin,
![{\displaystyle \left\vert p\int _{0}^{\eta }le^{-pt}dt-l\right\vert \leq le^{-p\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be4db20144006dc94abfde801ddd7b0c5fcb9d6)
et ce terme tend vers 0 lorsque
. Finalement, en regroupant les inégalités ci-dessus, on obtient
.
Or,
est arbitrairement petit, donc cette limite est nulle.