Utilisateur:Otto Cyber/brouillon2

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une catégorie concrète sur une catégorie $\mathbf {X}$ est un couple $(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})$ où $\mathbf {A}$ est une catégorie et ${\mathfrak {U}}:\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {X}$ est un foncteur fidèle. Le foncteur ${\mathfrak {U}}$ appelé le foncteur d'oubli et $\mathbf {X}$ est appelée la catégorie base pour $(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})$ . Si $\mathbf {X}$ n'est pas précisée, il est sous-entendu qu'il s'agit de la catégorie des ensembles $\mathbf {Ens}$ . Dans ce cas, les objets de la catégorie $\mathbf {A}$ sont des ensembles ayant une certaine structure, et les morphismes de cette catégorie sont des applications conservant cette structure. C'est cette structure que fait disparaître le foncteur d'oubli. A l'inverse, de nombreuses catégories utilisées en mathématiques sont construites à partir de la catégorie des ensembles en définissant une structure^[1]. Ces constructions constituent, avec les identifications appropriées, des catégories concrètes.

Exemples

La catégorie $\mathbf {Vect}$ des espaces vectoriels à gauche sur K a pour objets les K-espaces vectoriels à gauche et pour morphismes les applications K-linéaires. Cette catégorie est concrète, foncteur d'oubli faisant correspondre à un espace vectoriel l'ensemble sous-jacent et à une application K-linéaire l'application sous-jacente.

La catégorie $\mathbf {Top}$ des espaces topologiques a pour objets les espaces topologiques et pour morphismes les applications continues. Cette catégorie est concrète, le foncteur d'oubli faisant correspondre à un espace topologique l'ensemble sous-jacent et à une application continue l'application sous-jacente.

La catégorie $\mathbf {Evt}$ des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K et des applications K-linéaires continues peut être considérée comme une catégorie concrète ayant différentes bases, à savoir :

la catégorie $\mathbf {Vect}$ ;

la catégorie $\mathbf {Top}$ ;

la catégorie $\mathbf {Ens}$ .

Foncteur concret

Si $(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})$ et $(\mathbf {B} ,{\mathfrak {V}})$ sont deux catégories concrètes sur une même base $\mathbf {X}$ , un foncteur concret de $(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})$ dans $(\mathbf {B} ,{\mathfrak {V}})$ est un foncteur ${\mathfrak {F}}:\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {B}$ tel que ${\mathfrak {U}}={\mathfrak {V}}\circ {\mathfrak {F}}$ . On écrit alors ${\mathfrak {F}}:(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})\rightarrow (\mathbf {B} ,{\mathfrak {V}})$ .

Un isomorphisme concret ${\mathfrak {F}}:(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})\rightarrow (\mathbf {B} ,{\mathfrak {V}})$ est un foncteur entre catégories concrètes sur $\mathbf {X}$ qui est un isomorphisme de catégories. On identifie en pratique les catégories concrètes concrètement isomorphes.

Par exemple, les espaces topologiques peuvent être décrits de plusieurs manières : par les ensembles ouverts, par les voisinages, par les filtres convergents, etc. Ce sont là des constructions différentes, mais les catégories concrètes correspondantes sont concrètement isomorphes, donc peuvent être identifiées, et c'est ainsi qu'on obtient la catégories concrète $\mathbf {Top}$ et la structure d'espace topologique.

Sources initiales

Notations et terminologie

Soit $(\mathbf {A} ,{\mathfrak {U}})$ une catégorie concrète de base $\mathbf {X}$ . Pour alléger les écritures, on notera $\mathbf {A}$ cette catégorie concrète et $\vert .\vert$ le foncteur d'oubli. Pour éviter les confusions, si $f:B\rightarrow A$ est un morphisme de $\mathbf {A}$ , on appellera B son domaine et A son codomaine. L'expression « $f:\vert B\vert \rightarrow \vert A\vert$ est un $\mathbf {A}$ -morphisme » signifie que pour le $\mathbf {X}$ -morphisme $f:\vert B\vert \rightarrow \vert A\vert$ , il existe un $\mathbf {A}$ -morphisme (nécessairement unique, et également noté f) tel que $\vert B\rightarrow A\vert =\vert B\vert \rightarrow \vert A\vert$ .

Sources

Une source dans $\mathbf {A}$ est une famille de morphismes ${\mathcal {S}}=(f_{i}:A\rightarrow A_{i})_{i\in I}$ de $\mathbf {A}$ . L'objet A et la famille d'objets $(A_{i})_{i\in I}$ sont appelés respectivement le domaine et le codomaine de ${\mathcal {S}}$ . Le codomaine est parfois sous-entendu et on écrit alors ${\mathcal {S}}=(A,(f_{i})_{i\in I})$ .

La source ${\mathcal {S}}$ est une mono-source si elle est simplifiable à gauche, c'est-à-dire si pour tout couple de morphismes $r,s:B\rightarrow A$ , la relation ${\mathcal {S}}\circ r={\mathcal {S}}\circ s$ (ce qui signifie $f_{i}\circ r=f_{i}\circ s,\forall i\in I$ équivaut à $r=s$ . C'est une généralisation de la notion de monomorphisme.

Sources initiales

La source $(f_{i}:A\rightarrow A_{i})_{i\in I}$ est dite initiale si la condition suivante est satisfaite : pour tout objet B de $\mathbf {A}$ , la relation

«

f:\vert B\vert \rightarrow \vert A\vert

est un

\mathbf {A}

-morphisme »

équivaut à la relation

« quel que soit

i\in I

,

f_{i}\circ f:\vert B\vert \rightarrow \vert A_{i}\vert

est un

\mathbf {A}

-morphisme ».^[2]

Exemples

Une source ${\mathcal {S}}=(A,(f_{i})_{i\in I})$ dans $\mathbf {Top}$ est initiale si la topologie de A est la moins fine rendant les $f_{i}$ continues. En particulier, si E est un espace topologique, F est un sous-ensemble de E et $\iota :F\rightarrow E$ est l'injection canonique, la topologie induite sur F par celle de E est la moins fine rendant $\iota$ continue.

Dans la catégorie $\mathbf {Vec}$ , une source est initiale si, et seulement si elle est une mono-source. En particulier, en considérant le cas où I est réduit à un seul élément, un morphisme de $\mathbf {Vec}$ est initial si, et seulement s'il est injectif.

Produits concrets

Une source ${\mathcal {P}}=(p_{i}:P\rightarrow A_{i})_{i\in I}$ dans une catégorie $\mathbf {A}$ est appelée un produit si pour toute source ${\mathcal {S}}=(s_{i}:A\rightarrow A_{i})_{i\in I}$ (ayant le même codomaine que ${\mathcal {P}}$ ), il existe un morphisme unique $f:A\rightarrow P$ tel que ${\mathcal {S}}={\mathcal {P}}\circ f$ . Un produit ayant codomaine $(A_{i})_{i}\in I$ est appelé un produit de la famille $(A_{i})_{i}\in I$ .

Si $\mathbf {A}$ est une catégorie concrète de base $\mathbf {X}$ , un produit ${\mathcal {P}}$ est dit concret si $\vert {\mathcal {P}}\vert$ est un produit dans $\mathbf {X}$ . Il est immédiat qu'une source dans $\mathbf {A}$ est un produit concret si et seulement si elle cette source est initiale et $\vert {\mathcal {P}}\vert$ est un produit dans $\mathbf {X}$ .

Les catégories $\mathbf {Top}$ et $\mathbf {Vec}$ , la catégorie des groupes, celle des groupes abéliens, celle des anneaux, celle des monoïdes, celle des modules à gauche sur un anneau, etc., admettent des produits. Soit $(A_{i})_{i\in I}$ une famille d'objets, et formons le produit $(\pi _{j}:\Pi _{i}\vert A_{i}\vert \rightarrow \vert A_{j}\vert )_{j\in I}$ dans la catégorie des ensembles. On obtient le produit concret $(\pi _{j}:\Pi _{i}A_{i}\rightarrow A_{j})_{j\in I}$ en munissant l'ensemble $\Pi _{i}\vert A_{i}\vert$ de la structure initiale^[3] relativement à la famille $(p_{j})_{j\in I}$ : cela détermine l'objet $\Pi _{i}A_{i}$ de la catégorie considérée.

La construction précédente ne s'applique pas, par exemple, à la catégorie $\mathbf {Ban}$ des espaces de Banach. Cette catégorie admet des produits qui ne peuvent obtenus de cette manière quand ils sont infinis. Ces produits ne sont donc pas concrets.

Embouchures

La notion d'embouchure^[4] est duale de celle de source (la définition d'une embouchure s'obtient donc à partir de celle d'une source en « inversant le sens des flèches ». On obtient les correspondances suivantes :

{\begin{array}{cc}{\text{Notion}}&{\text{Notion duale}}\\{\text{source}}&{\text{embouchure}}\\{\text{mono-source}}&{\text{epi-embouchure}}\\{\text{source initiale}}&{\text{embouchure finale}}\\{\text{produit}}&{\text{coproduit}}\\{\text{produit concret}}&{\text{coproduit concret}}\end{array}}

Le coproduit d'une famille $(A_{i})_{i\in I}$ dans la catégorie des ensembles est la réunion disjointe $\biguplus _{i\in I}A_{i}$ .

Dans la catégorie concrète $\mathbf {Top}$ , le coproduit de la famille d'espaces topologiques $(A_{i})_{i\in I}$ est la réunion disjointe $\biguplus _{i\in I}A_{i}$ muni de la topologie finale, c'est-à-dire la topologie la plus fine pour laquelle les injections canoniques $A_{i}\rightarrow \biguplus _{i\in I}A_{i}$ sont toutes continues. Par conséquent, $\mathbf {Top}$ admet des coproduits concrets.

La catégorie des groupes admet des coproduits, à savoir les produits libres, mais ce ne sont pas des coproduits concrets si l'on prend pour base la catégorie des ensembles.

Notes et références

Notes

↑ C'est d'une manière complètement analogue que Bourbaki (p. IV.4) construit une structure, mais dans un cadre qui n'est pas celui des catégories.
↑ En termes de structure (cf. Bourbaki, p. IV.14), le domaine A de la source initiale $(f_{i}:A\rightarrow A_{i})_{i\in I}$ est muni de la structure initiale pour la famille $(f_{i},A_{i})_{i\in I}$ .
↑ Au sens bourbachique du terme, bien entendu.
↑ Traduction approximative de du terme anglais « sink », « évier », peu esthétique en français.

Références

(en) Jirí Adámek, Horst Herrlich et George E. Strecker, Abstract and Concrete Categories, 2004 (lire en ligne)
N. Bourbaki, Éléments de mathématique - Vol. 1 : Théorie des ensembles, Hermann, 1970

[1] C'est d'une manière complètement analogue que Bourbaki (p. IV.4) construit une structure, mais dans un cadre qui n'est pas celui des catégories.

[2] En termes de structure (cf. Bourbaki, p. IV.14), le domaine A de la source initiale $(f_{i}:A\rightarrow A_{i})_{i\in I}$ est muni de la structure initiale pour la famille $(f_{i},A_{i})_{i\in I}$ .

[3] Au sens bourbachique du terme, bien entendu.

[4] Traduction approximative de du terme anglais « sink », « évier », peu esthétique en français.

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