Utilisateur:Proz/Ensemble dénombrable

cf. ensemble dénombrable REPRISE suite

pour compléter l'article :

Aspects axiomatiques :

Tous les développements se font dans la théorie de Zermelo, avec axiome du choix quand c'est précisé. Hors prolongements, le seul résultat dont la preuve utilise l'axiome du chois, en l'occurrence l'axiome du choix dénombrable, est que la réunion d'un ensemble dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. On peut montrer (Cohen 196?) que la théorie de Zermelo-Fraenkel sans axiome du choix, a des modèles où l'ensemble des réels R est réunion dénombrable d'ensembles dénombrable, c'est-à-dire que l'axiome du choix est indispensable.

Quelques exemples où l'on parle de dénombrable

Le dénombrable est une notion tellement élémentaire qu'on la retrouve dans à peu près tous les domaines des mathématiques. On préfère par exemple parler de famille (mathématiques) dénombrable plutôt que de suite indexée par les entiers naturels, quand on veut mettre l'accent sur le fait que l'ordre n'est pas important (voir par exemple famille sommable).

Topologie

On remarque que l'ensemble Q des rationnels est un sous-ensemble dénombrable dense de l’ensemble R des réels. Cette propriété se généralise aux Rⁿ, et elle conduit à la notion d'espace séparable. et elle a pour conséquence qu'un intervalle ouvert de R est déterminé par son intersection avec Q. si cet intervalle est non vide on montre facilement que cette intersection est infinie dénombrable. Une famille d'intervalles ouverts non vides disjoints deux à deux est donc au plus dénombrable, puisque l'on peut définir une surjection de l'intersection de la réunion de cette famille avec Q, qui est donc dénombrable, dans l'ensemble des intervalles de la famille. On peut montrer que tout ouvert de R est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, et une autre propriété de R, celle d'avoir une base (topologie) dénombrable d'ouverts, les intervalles ouverts dont les bornes sont rationnelles, conduit à la notion d'espace à base dénombrable.

Tribu (mathématiques)

Tribu borélienne

Hiérarchie de Borel

Théorème de Baire

espace préhilbertien

espace de Hilbert

base de Hilbert

mesure (mathématiques)

Logique mathématique

En algèbre c'est une banalité de remarquer que par exemple un groupe ayant un nombre fini de générateurs est au plus dénombrable. Par exemple deux réflexions du plan engendrent un groupe fini (groupe diédral) ou infini mais dénombrable, suivant que l'angle entre les deux axes de la réflexion est ou nom un multiple rationnel de pi.

Tout élément de ce groupe est en fait représenté par une suite finie des générateurs du groupe. C'est un cas particulier d'un phénomène plus général. L'ensemble des mots d'un langage fini ou dénombrable est dénombrable. Cette propriété a des conséquences importantes en logique. Il est toujours possible de montrer qu'une théorie du premier ordre exprimée dans un langage fini ou dénombrable (comme l'arithmétique de Peano ou la théorie des ensembles) a un modèle dénombrable (c'est une forme faible du théorème de Löwenheim-Skolem, que l'on déduit directement de la démonstration du théorème de complétude). Dans le cas de la théorie des ensembles c'est ce que l'on a appelé le paradoxe de Skolem, mais c'est une propriété utile qui a été utilisée par Paul Cohen pour ss preuves d'indépendance de l'hypothèse du continu et de l'axiome du choix.

Calculabilité

L'informatique ne manipule que le dénombrable. Mais une propriété plus exigeante est utile. Un ensemble est récursivement énumérable non seulement quand il est fini ou dénombrable, c'est-à-dire quand il est vide ou l'image d'une fonction définie N , mais quand cette fonction est de plus une fonction calculable. Il existe des ensembles dénombrables qui ne sont pas récursivement énumérables : si l'ensemble des propositions démontrables d'une théorie est toujours récursivement énumérable (pour les théories « raisonnables », celles que l'on rencontre en mathématiques), l'ensemble des propositions qui ne sont pas démontrables ne l'est pas. Ces deux ensembles, qui sont finalement des ensembles de mot sur un alphabet fini (ou dénombrable) sont bien entendu dénombrables.

discret (?)

ℵ₀, ℵ₁, ℵ_ω, 2^ℵ₀

ℵ₀, ℵ₁, ℵ_ω, 2^ℵ₀