Utilisateur:RJGray/Bac à sable1
NOTES:
Au lieu, Cantor analyse la situation encore plus : il pose (CORRECT! see nombre p-adique) b∞ = limn → ∞ bn
La plus forte déclaration de Ferreirós sur « les conditions régnant ici » mentionne à la fois Kronecker et Weierstrass : « Si Cantor l' [le résultat non-dénombrabilité (IS THIS ALLOWABLE?)] avait souligné, comme il eut eu dans la correspondance avec Dedekind, il ne fait aucun doute que Kronecker et Weierstrass aurait réagi négativement[1]. »
ancien texte (nombre transcendant):
En 1874, Georg Cantor trouva l'argument décrit ci-dessus établissant l'ubiquité des nombres transcendants.
nouveau texte (anglais):
In 1874, Georg Cantor proved that the algebraic numbers are countable and the real numbers are uncountable. He also gave a new method for constructing transcendental numbers[2]. In 1878, Cantor published a construction that proves there are as many transcendental numbers as there are real numbers.[3] Cantor's work established the ubiquity of transcendental numbers.
nouveau texte (français):
[4].
En 1874, Georg Cantor démontra que les nombres algébriques sont dénombrables et les nombres réels sont non dénombrables. Il aussi donna une nouvelle méthode pour construire des nombres transcendants[5]. En 1878, Cantor publia une construction qui démontre qu'il y a autant de nombres transcendants que de nombres réels[6]. Ce travail de Cantor a établi l'ubiquité des nombres transcendants.
Un programme informatique qui utilise la construction de Cantor pour construire un nombre transcendant est décrite dans : R. Gray, Georg Cantor and Transcendental Numbers, American Mathematical Monthly 101 (1994), p. 819–832.
Notes
modifier- Ferreirós 2007, p. 185.
- Georg Cantor, « Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen », J. Reine Angew. Math., vol. 77, , p. 258–262 (lire en ligne) A computer program that uses Cantor's construction to generate a transcendental number is described in: ______
- Georg Cantor, Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, J. Reine Angew. Math. 84 (1878), p. 242–258. (Cantor's construction builds a one-to-one correspondence between the set of transcendental numbers and the set of real numbers. In this article, Cantor only applies his construction to the set of irrational numbers. See p. 254.)
- J. Liouville, Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques, J. Math. Pures et Appl. 16 (1851), p. 133–142.
- G. Cantor, Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen, J. Reine Angew. Math. 77 (1874), p. 258–262. Traduction française : G. Cantor, Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels, Acta Math. 2 (1883), p. 305–310.
- G. Cantor, Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, J. Reine Angew. Math. 84 (1878), p. 254. Traduction française : G. Cantor, Une contribution à la théorie des ensembles, Acta Math. 2 (1883), p. 323–324. La construction de Cantor construit une bijection entre l'ensemble des nombres transcendants et l'ensemble des nombres réels. Dans cet article, Cantor ne s'applique que sa construction à l'ensemble des nombres irrationnels.
Source
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cantor's first uncountability proof » (voir la liste des auteurs).
Extra
modifierOld note: [1]
Normes de présentations bibliographiques
modifierIl existe deux principales normes de présentation bibliographique, l'ISBD orientée vers le catalogage et la norme ISO 690, adaptée en France à travers la norme AFNOR NF Z 44-005-2, orientée vers l'édition.
Dans le cas le plus simple une référence bibliographique se présente ainsi :
- Norme ISBD
- Titre : Sous-titre / Prénom et nom de l'auteur. – Lieu d'édition : éditeur, année d'édition. – Nombre de pages ; Format.
ISBN - Norme ISO 690[2]
-
- Pour une monographie : NOM (Prénom), Titre, Lieu d'édition : éditeur, année d'édition.
- Pour un article : NOM (Prénom), « Titre de l'article », in Titre de la publication, tomaison, année, page(s).
Bibliographie
modifier- 1871 - Über trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 4, p. 139-143. (Cantor [1932 p. 87-91]).
- fr - Trad. Sur les séries trigonométriques, Acta Math. 2 (1883), p. 329-335.
- 1872 – Über die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5, p. 123-132 (Cantor [1932 p. 92-102]).
- fr - Trad. Extension d'un théorème sur les séries trigonométriques, Acta Math. 2 (1883), p. 336-348.
- 1874 – Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p. 258-262, (Cantor [1932, p. 115-118]).
- fr - Trad. Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels, Acta Math. 2 (1883), p. 305–310.
- 1878 – Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Journal de Crelle 84, p. 242-258 (Cantor [1932, p. 119-133]).
- fr - Trad. Une contribution à la théorie des ensembles, Acta Math. 2 (1883), p. 311–328.
- 1879
- a – Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. (Cantor [1932, p. 134-138]).
- b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 1. (Cantor [1932 p. 139-145]).
- fr – Trad. Sur ensembles infinis et linéaires de points, Acta Math. 2 (1883), p. 349–356.
- 1880 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 2. (Cantor [1932 p. 145-148]).
- 1882 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 3. (Cantor [1932 p. 149-157]).
- 1883
- a – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 4. (Cantor [1932 p. 157-164)].
- b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Cantor [1932 p. 165-208]).
- bfr – Fondements d'une théorie générale des ensembles. Leibzig, Teubner. Trad. Milner in Cahiers pour l'Analyse 10. La formalisation, p. 35-52, le Seuil, Paris 1969.
- 1884 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 6. (Cantor [1932 p. 210-246]).
- 1887-1888 – Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. (Cantor [1932, p. 378-439]).
- 1890 – Gesammelte Abhandlungen zur Lehre vom Transfiniten, Halle, C.E.M. Pfeffer (Cantor [1932, p. 370-439]).
- 1891 – Über eine elementare Frage zur Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1, p. 75-78 (Cantor [1932 p. 278-281]).
- fr - Traduction et introd. H. Sinaceur : Sur une question élémentaire de la théorie des ensembles, in Logique et fondements des mathématiques, Anthologie (1850-1914), Paris, Payot, p. 197-203.
- 1895-1897 – Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46, p. 481-512; 49, p. 207-246 (Cantor [1932, p. 282-356]).
- fr - Trad. Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis. Trad F. Marotte. In Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, rééd. Gabay, Paris 2000.
- 1905 – Ex Oriente Lux, Gespräche eines Meisters mit seinem Schüler über wesentliche Puncte des urkundlichen Christenthums. Berichtet vom Schüler selbst. Halle: C. E. M. Pfeffer.
- 1932 – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts. -88mb!, éd. par Ernst Zermelo. Presque tous les écrits de Cantor (en allemand).
- Correspondance Cantor-Dedekind, Trad. J. Cavaillès. in CAVAILLÈS J., Philosophie des mathématiques, Paris, Hermann, 1962, p. 179-250.
- Signalons aussi le document électronique disponible sur le site de la BNF (Lire en ligne) qui rassemble la majorité des œuvres de Cantor traduites en français : [1872], [1874], [1878], [1879], [1880], [1882], [1883a], [1883b], [1884]. Cela dit, si certaines de ces traductions ont été revues par Poincaré, d’autres sont souvent mauvaises et éparses, et sont donc à consulter avec toutes les précautions nécessaires. Voir la présentation de Pierre Dugac pour plus de détails.
- (en) O'Connor, J. J., and Robertson, E.F. MacTutor archive.
- Ces deux articles sont les principales sources de la version anglaise, et donc de celle-ci.
Notes
modifier- Über eine elementare Frage der Mannigfaltigskeitslehre, p. 279.
- « Le norme ISO 690 (7-44005) » sur revues.refer.org.
=Extra
modifierQuelques mathématiciens sont moins dramatiques en interprétant erronément l'article de Cantor. Par exemple, Dehornoy et Oresme énonçent correctement le premier théorème de Cantor mais énonçent incorrectement son second théorème : « On ne peut pas numéroter les nombres réels. » et énonçent plus tard : « Cantor note que le rapprochement des théorèmes 1 et 2 permet de redémontrer l'existence de réels non algébriques… » Leurs énoncés impliquent que la démonstration de Cantor est non constructive, mais ils ne font pas cette observation[1].
et en utilisant leur version du théorème de donner une démonstration non constructive d'existence de nombres transcendants. Cependant, ils ne commentent pas sur cette démonstration. Par exemple, sous l'onglet « ANALYSE » sur la page web « Cantor et les infinis » après avoir démontré le premier théorème de Cantor sur les nombres algébriques, Patrick Dehornoy et Nicolas Oresme énoncent incorrectement le second théorème de Cantor :
« Par contre, si on considère la collection de tous les nombres réels, alors la situation est différente, et c'est le second résultat démontré par Cantor :
Théorème 2 : On ne peut pas numéroter les nombres réels. »
Après avoir démontré leur Théorème 2, les auteurs déclarent :
« Cantor note que le rapprochement des théorèmes 1 et 2 permet de redémontrer l'existence de réels non algébriques, établie pour la première fois par Liouville en 1851. »
P. Dehornoy et N. Oresme, Cantor et les infinis. Sous l'onglet « ANALYSE », dans la section « 3. … et un résultat négatif », Dehornoy et Oresme interprètent mal l'article de Cantor en énonçant incorrectement le second théorème de Cantor : « On ne peut pas numéroter les nombres réels. » Ils affirment également : « Cantor note que le rapprochement des théorèmes 1 et 2 permet de redémontrer l'existence de réels non algébriques… » Ces deux énoncés impliquent que la démonstration de Cantor est non constructive.
- P. Dehornoy et N. Oresme, Cantor et les infinis. Cliquez sur l'onglet « ANALYSE », puis défilez jusqu'à « 3. … et un résultat négatif ».