Soit
un nombre premier.
On indentifie
avec
qui est un anneau commutatif avec l'addition et la multiplication modulo
.
Il y a une fonction naturelle
quand
. Si l'on connait la valeur de
alors on connait aussi celle de
pour tout
.
Un élément
est inversible (dans l'anneau
) si et seulement si
.
On considère l'ensemble noté
des suites
devient un anneau commutatif intègre avec l'addition et la multiplication
Dans
les éléments neutres de l'addition et de la multiplication sont simplement les suites constantes égales à
et
:
Comme dans tout anneau, on peut multiplier un élément
par un entier
:
Une autre façon de dire la même chose est de considérer la fonction
Important : vérifier que
est un morphisme injectif d'anneau, c'est à dire que
Donc dans un certain sens,
contient
. Mais il contient aussi une bonne partie de
,
car si (et seulement si)
alors chaque
est inversible
, si bien qu'il existe une unique suite
telle que
(pour vérifier que
est bien un élément de
, il suffit de vérifier que
)
on peut donc étendre
aux rationnels de la forme
:
Et cela reste un morphisme injectif d'anneaux
La division par
, le corps ![{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fcea785c6258681656f0f9a39a218bfc774b2d)
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De plus si
et
alors tous les
sont divisibles par
. Il existe donc un unique élément
tel que
Le fait que
suggère que
. Mais
n'est pas dans
.
La solution est simplement de l'ajouter, pour obtenir un nouvel anneau noté
dont les éléments sont de la forme
l'addition et la multiplication dans
est similaire à celle des fractions :
Chaque élément non nuls de
peut s'écrire de manière unique sous la forme
(où
est l'ensemble des éléments inversibles de
, donc ceux tels que
)
on s'aperçoit que tout élément non nul de
est inversible :
Ainsi l'anneau commutatif
est un corps commutatif, que l'on note
.
Deux écritures pour les élements de
, norme
-adique ![{\displaystyle |.|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabedc12c37885c0c957bd216052856c17355ac4)
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On a vu qu'on pouvait écrire n'importe quel élément de
sous la forme
. On définit alors une valeur absolue
qui va nous permettre de parler de convergence dans
et
:
Avec le cas spécial
on trouve que cette valeur absolue (ou norme) en est bien une : elle est multiplicative et sous-additive
On peut donc considérer les suites qui sont de Cauchy pour
, et "compléter"
(ou
) pour cette métrique. On trouve alors que ces anneaux sont déjà complets.
écriture sous forme de série
-adique
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Soit
. On considère la série
-adique :
On montre alors par récurrence que
donc que la série précédente converge vers
.
est un entier naturel, on a donc montré que
est dense dans
, et que
est dense dans
.
On dit aussi que
sont respectivement la complétion
-adique des anneaux
.
Enfin on peut définir
comme la boule unité de
:
Analogue
-adique des fonctions analytiques à coefficients rationnels, lemme de Hensel
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Soit une fonction analytique complexe
définie par une série entière à coefficients rationnels :
On peut alors regarder si la série
-adique
est de Cauchy donc converge dans
. Pour cela en général on regarde si la série
converge (dans
) pour un certain
. Dans ce cas
converge pour
donc pour
.
On a ainsi les analogues
-adiques
.
Cela amène à des constatations utiles, par exemple lorsqu'on considère la série binomiale
-adique
qui converge vers un élément de
. Cela montre donc que
. Ceci caractérise d'ailleurs les éléments de la forme
et ce indépendemment de la valeur absolue
qu'on a utilisée pour le montrer, ce qui prouve qu'il n'existe pas d'autre valeur absolue dans
.
Avec une approche totalement différente,le lemme de Hensel donne un critère très général pour savoir si une équation algébrique a une solution dans
.
Cloture algébrique de
et complétion ![{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f9e7692267c8a29ed4d848c3421eee929c23c3)
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Par un argument de cardinalité (
étant non dénombrable) on trouve que certains éléments de
ne sont pas algébriques (par rapport à
).
On regarde ensuite les polynômes de
, ceux qui sont irréductibles, les extensions finies
et leurs groupes de Galois. On étend naturellement
à ces extensions finies par
où les
sont les conjugués Galoisiens, donc les racines du polynôme minimal de
.
On trouve que même si
est complet pour la norme
-adique, sa clôture algébrique
ne l'est pas. On note alors
sa complétion : qui est un corps algébriquement clos et complet, tout comme
, même si les propriétés de ces deux corps sont très différentes.
Ce qu'on a vu sur les analogues
-adiques des fonctions analytiques à coefficients rationnels prend un sens plus large lorsqu'on regarde leur extension à
.
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)