Utilisateur:Richard Oberrieder/Brouillon

Paradoxe du tout dernier trou noir

Résumé : Dans un futur très lointain, la masse du dernier trou noir ne serait plus un paramètre mesurable. Cette information disparaitrait sans prendre en compte l’hypothèse de son évaporation par rayonnement de Hawking. Seule une quantification de l’espace-temps évite ce paradoxe.

I – Introduction Supposons l’existence d’un observateur dans un avenir très lointain après une longue période d’accélération de l’expansion de l’univers [1]. Tous les corps célestes se sont éloignés les uns des autres au point de dépasser l’horizon cosmologique de cet observateur sauf deux trous noirs de Schwarzschild, électriquement neutre et sans rotation [2]. Par définition, pour le trou noir de Schwarzschild : de masse M strictement positive : M>0 ; dont la charge électrique Q est nulle : Q=0 ; dont le moment cinétique J est nul : J=0 (sans rotation axiale ); dont la singularité gravitationnelle est ponctuelle ; dont l'horizon des événements est une hypersurface de rayon égal au rayon de Schwarzschild. L’univers visible se résumerait à l’observateur O, deux trous noirs TN1 et TN2 et le fond diffus à l’horizon cosmologique. Dans cette hypothèse, nous négligerons l’éventuel rayonnement de Hawking des trous noirs [3].

II – Mesures du rayon des trous noirs par l’observateur Même si un trou noir n’émet aucun rayonnement, l’observateur O pourra toujours faire la mesure géométrique de son rayon R car son disque se découpe sur le fond diffus cosmologique en ombre et en anneaux d’Einstein [4]. Mais le « théorème de calvitie » [5] implique qu’un trou noir neutre et sans rotation est entièrement caractérisé par sa masse M. Le trou noir ne possède aucun détail, aucun « poil » visible à son propre horizon. La mesure de son rayon R détermine son unique paramètre observable M grâce à l’expression du rayon de Schwarzschild : R= 2GM/c² et M= (c² R)/2G L’observateur O pourra mesurer la masse M de chaque trou noir en mesurant son rayon R. Des mesures des rayons R1 et R2, l’observateur O en déduira les masses M1 de TN1 et M2 de TN2 car la masse M quantifie le rayon R du trou noir.

III – Si l’observateur est une singularité Supposons maintenant que l’observateur O n’est pas un tiers objet mais la singularité S1 de TN1. Cette singularité S1 voit l’ombre du disque de l’autre trou noir TN2, mesure son rayon R2 et donc sa masse M2. De même, la singularité S2 voit l’ombre du disque de TN1, mesure son rayon R1 et donc sa masse M1. Dans cet univers lointain et très simplifié, la masse des trous noirs reste un paramètre observable. Rien ne pouvant sortir de l’horizon respectif de chaque trou noir, les deux singularités S1 et S2 ne peuvent se communiquer l’information de leurs mesures respectives. S1 mesure la masse M2 mais ne peut la communiquer à S2. Réciproquement, S2 mesure la masse M1 mais ne peut la communiquer à S1.

IV – Paradoxe du dernier trou noir Supposons que le temps passe encore jusqu’à ce que les deux trous noirs fusionnent ou jusqu’à ce qu’ils s’éloignent tellement l’un de l’autre qu’ils dépassent leur horizon cosmologique respectif. Dans l’univers observable par la dernière singularité Sd, il ne resterait que le dernier trou noir TNd et le fond diffus cosmologique. La singularité Sd n’observe plus qu’un fond diffus cosmologique sans aucune ombre et aucun anneau d’Einstein. Si la singularité Sd ne peut observer le rayon de TNd, alors sa propre masse Md n’est plus un paramètre observable ! Le paradoxe est là : tant qu’il reste au moins deux trous noirs, il existe l’information mesurable « masse du trou noir ». Mais dès qu’il n’y a plus qu’un trou noir, cette information mesurable disparait sans prendre en compte l’hypothèse d’évaporation des trous noirs.

V – Où est l’information mesurable « masse du trou noir » ? Pour comprendre le paradoxe, revenons au cas à deux trous noirs. Si chaque singularité peut mesurer la masse de l’autre trou noir mais pas la sienne propre, alors deux évolutions sont à voir. Si les deux trous noirs s’éloignent au point de dépasser leur horizon cosmologique respectif, on peut considérer que l’information mesurable « masse du trou noir » quitte l’univers observable. Elle disparaît à l’horizon cosmologique de l’univers observable. Mais si les deux trous noirs fusionnent, il n’y a plus qu’une singularité Sd qui ne peut pas mesurer sa propre masse Md, addition des masses M1 et M2. L’information mesurable « masse du trou noir » disparaît dans l’univers observable de la dernière singularité Sd ! Nous pourrions nous dire que, en fusionnant, les singularités S1 et S2 se communiquent l’information des mesures M1 et M2. Mais alors Sd a une information Md qui n’est plus mesurable après la fusion !

VI – Comment résoudre le paradoxe ? Ce paradoxe ne peut être évité que si nous considérons que la singularité d’un trou noir peut mesurer sa propre masse. Mais le dernier paramètre mesurable par la singularité ponctuelle Sd est son temps propre. De la même manière que le rayon d’un trou noir est quantifié en fonction de sa masse par la relation de Schwarzschild, R= 2GM/c² et M= (c² R)/2G nous devons envisager que le temps propre de la singularité S est quantifié par la relation : ΔT = R/c = 2GM/c^3 et M = (c^3 ΔT)/2G ΔT est le temps minimum mesurable par la singularité S d’un trou noir de masse M [6]. Ainsi, l’information « masse du trou noir » reste mesurable même pour le dernier trou noir de l’univers observable. Toute singularité S mesure sa masse propre M en mesurant son quanta de temps propre ΔT.

VII – Conclusion En prenant la convention c = G = 1, dans un référentiel (S,x,y,z,ct) lié à la singularité ponctuelle S, la singularité S d’un trou noir TN a une masse M qui quantifie son espace-temps environnant sous la forme d’une hyperboule de dimension 4, de centre S et de rayon égale à 2M.

[1] Measurements of Omega and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae S. PERLMUTTER1, G. ALDERING, G. GOLDHABER1, R.A. KNOP, P. NUGENT, P. G. CASTRO2, S. DEUSTUA, S. FABBRO3, A. GOOBAR4, D. E. GROOM, I. M. HOOK5, A. G. KIM1,6, M. Y. KIM, J. C. LEE7, N. J. NUNES2, R. PAIN3, C. R. PENNYPACKER8, R. QUIMBY fr.arXiv.org > astro-ph > arXiv:astro-ph/9812133v1

[2] Karl Schwarzschild, On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math.Klasse 1916, 189-196

[3] S. W. Hawking, Particle Creation by Black Holes, Communications in Mathematical Physics, 43, 199-220 (1975) ; Erratum ibid., 46, 206 (1976)

[4] Kochanek, C.S.; C.R. Keeton and B.A. McLeod (2001). "The Importance of Einstein Rings". The Astrophysical Journal 547 (1): 50–59.arXiv:astro-ph/0006116. Bibcode:2001ApJ...547...50K. doi:10.1086/318350.

[5] Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. pp. 875–876. (ISBN 0716703343). Retrieved 24 January 2013.

Paradox of the latest black hole

Abstract : In a very distant future, the mass of the final black hole will not be a measurable parameter. This information will disappear without assumption of Hawking radiation and black hole evaporation. Only a quantification of space-time continuum avoids this paradox.

I - Introduction

Assume the existence of an observer in the distant future after a long period of accelerating expansion of the universe [1]. All celestial bodies are far from each other so as to exceed the cosmological horizon of the observer except two Schwarzschild Black Holes, electrically neutral and without rotation [2]. By definition, for the Schwarzschild black holes : mass M strictly positive: M> 0; that the electric charge Q is zero: Q = 0; which is zero angular momentum J: J = 0 (no axial rotation); whose gravitational singularity is a point; whose event horizon is a hypersurface of radius equal to the Schwarzschild radius. The visible universe would be summarized to the observer O, two Black Holes BH1 and BH2 and cosmic microwave background on the cosmological horizon. In this hypothesis, we neglect the possible Hawking radiation of black holes [3].

II - Measures the radius of black holes by the observer

Even if a black hole does not emit any radiation, the observer O can always measure geometrically its radius R because its disk is silhouetted against the cosmic microwave background with shadow and Einstein rings [4]. But No hair theorem [5] implies that a black hole, electrically neutral and without rotation, is fully characterized by its mass M. The black hole has no detail, no 'hair' visible to its own horizon. Its radius R determines his only observable parameter M through the expression of the Schwarzschild radius : R= 2GM/c^2 and M= (c^2 R)/2G The observer O can measure the mass M of each black hole by measuring its radius R. Measurements of radii R1 and R2, the observer O deduce the masses M1 of BH1 and M2 of BH2 because the mass M quantifies the radius R of the black hole.

III - If the observer is a singularity

Now, suppose that the observer O is not a third object, but the singularity S1 of BH1. This singularity S1 sees the shadow disk of the other black hole BH2, measures its radius R2 and therefore its mass M2. Similarly, the singularity S2 sees the shadow disk of BH1, measures its radius R1 and therefore its mass M1. In this remote and very simplified universe, the mass of black holes remains an observable parameter. Nothing can escape the respective horizon of each black hole : the singularities S1 and S2 can’t share information on their respective measures. S1 measures the mass M2 but can’t communicate it to S2. Similarly, S2 measures the mass M1 but can’t communicate it to S1. IV - Final black hole paradox

Suppose time passes again until the two black holes merge or until they move away so much from each other that they exceed their respective cosmological horizon. In the observable universe by the final singularity Sf, there would be only the final black hole BHf and the cosmic microwave background. The Sf singularity observes a cosmic background without shadow and no Einstein ring. If the singularity Sf can’t observe the radius of BHf, its proper mass Mf is not an observable parameter! The paradox is : with two black holes, there are measurable information "black hole mass" but, for the final black hole, the measurable information disappears with no evaporation of the black hole. V - Where is the measurable information "black hole mass"?

To understand the paradox, let us return to the case on two black holes. If each singularity can measure the mass of the black hole but not its proper mass, two developments are to be seen. If the two black holes are moving away to exceed their respective cosmological horizon, we can consider that the measurable information "black hole mass" leaves the observable universe. This information disappears to the cosmological horizon of the observable universe. But if the two black holes merge, there are one singularity Sf which can’t measure its proper mass Mf, addition of masses M1 and M2. The measurable information "black hole mass" disappears in the observable universe of the final singularity Sf! We could say that, by combining both, S1 and S2 singularities communicate information to the M1 and M2 measures. But then Sf has Mf information no longer measurable after merge! VI - How to solve this paradox?

This paradox can be avoided if we consider that the singularity of a black hole can measure its proper mass. The last measurable parameter by the point final singularity Sf is the proper time. Likewise the radius of a black hole is quantified according to its mass by Schwarzschild radius, R= 2GM/c^2 and M= (c^2 R)/2G we must consider that the proper time of the singularity S is quantified by the equation : ΔT= R/c=2GM/c^3 and M= (c^3 ΔT)/2G ΔT is the minimum measurable time by S singularity of a black hole of mass M [6]. The information "black hole mass" remains measurable even for the final black hole of the observable universe. Any singularity S measures its proper mass M measuring its proper time quanta ΔT.

VII - Conclusion

Taking the convention c = G = 1, in a repository (S, x, y, z, ct) related to the point singularity S, the singularity S of a black hole BH has a mass M which quantifies the space-time continuum surrounding as a 4-sphere of center S and radius equal 2M.

[1] Measurements of Omega and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae S. PERLMUTTER1, G. ALDERING, G. GOLDHABER1, R.A. KNOP, P. NUGENT, P. G. CASTRO2, S. DEUSTUA, S. FABBRO3, A. GOOBAR4, D. E. GROOM, I. M. HOOK5, A. G. KIM1,6, M. Y. KIM, J. C. LEE7, N. J. NUNES2, R. PAIN3, C. R. PENNYPACKER8, R. QUIMBY fr.arXiv.org > astro-ph > arXiv:astro-ph/9812133v1

[2] Karl Schwarzschild, On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math.Klasse 1916, 189-196

[3] S. W. Hawking, Particle Creation by Black Holes, Communications in Mathematical Physics, 43, 199-220 (1975) ; Erratum ibid., 46, 206 (1976)

[4] Kochanek, C.S.; C.R. Keeton and B.A. McLeod (2001). "The Importance of Einstein Rings". The Astrophysical Journal 547 (1): 50–59. arXiv:astro-ph/0006116. Bibcode:2001ApJ...547...50K. doi:10.1086/318350.

[5] Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. pp. 875–876. (ISBN 0716703343). Retrieved 24 January 2013.