Soit
, avec
. On pose
et, après division par
, on se ramène à
avec
.
Transformation de Tschirnhaus
On a
,
soit
,
soit
,
soit
,
soit
![{\displaystyle y^{3}+py+q=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f60f6e3e2fd36f89d47649d68591331b66cf2f)
.
En exprimant
, on remarque que
, soit
.
Par identification, on a alors
et on pose alors (c'est le principe de la Substitution de Viète)
(puisqu'on est libre de choisir soit
, soit
).
On a alors
, donnant
où
avec
. Ici, il faut considérer que la racine carrée d'un réel négatif est un nombre imaginaire, ce qui fait 6 solutions pour
. Mais, comme
, on a, au plus, 3 solutions :
.
Cas où p et q sont réels
Si
et
sont réels (ce qui sera forcément le cas si
,
,
et
sont réels), on pose
et 3 cas se présentent :
- Si
, on a 1 racine réelle (
) et 2 racines complexes conjuguées (
et
) ; et la racine réelle s'exprime à partir de racines cubiques, ainsi :
.
- Si
, on a 3 racines réelles et :
- Si
, les 3 racines sont triples :
.
- Si
, 2 racines sont doubles :
et
puisque
.
- Si
, on a 3 racines réelles différentes ; et les racines ne peuvent pas s'exprimer à partir de racines cubiques de réels (c'est le casus irreducibilis), mais à partir de fonctions trigonométriques. On a
et
avec
, ainsi :
.
- Note : Pour calculer les 3 valeurs réelles, il nous a été nécessaire de calculer la racine carrée d'un nombre négatif. C'est Raphaël Bombelli qui a inventé
permettant de trouver les racines réelles.
On pose :
.
On a :
.
c.-à-d. :
- Si
, on a 1 racine réelle (
) et 2 racines complexes conjuguées (
et
) :
.
- Si
, les trois racines sont réelles et :
- Si
et les 3 racines sont triples :
.
- Si
et 2 racines sont doubles :
et
.
- Si
, on a 3 racines réelles différentes :
.
Expressions (avec a, b, c et d)
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Finalement, les trois racines, qui peuvent dans certains cas être égales, sont :