Utilisateur:Tayou974/transformation d'Abel

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, la transformation d'Abel est un opérateur linéaire introduit par Abel en 1823.

Soit $u:[0,a]\to \mathbb {R}$ une fonction continue. La transformée d'Abel de $u$ est la fonction ${\mathcal {A}}u$ définie sur $[0,a]$ par : $${\mathcal {A}}u(x)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {u(y)}{\sqrt {x-y}}}dy&{\text{si }}0<x\leq a\\0&{\text{si }}x=0\\\end{cases}}$$

La transformée d'Abel définit ainsi un opérateur linéaire de ${\mathcal {C}}^{0}([0,a])$ dans lui-même, de norme $2a$. Elle s'étend par continuité aux espaces $L^{p}([0,a])$, pour $1\leq p<+\infty$.

On dispose pour cet opérateur d'une formule d'inversion. Celle-ci intervient dans la résolution de nombreux problèmes inverses en mécanique, sismographie, tomographie, etc.

Formule d'inversion

Pour tout $u\in {\mathcal {C}}^{0}([0,a])$, on a : $$\forall x\in [0,a],\quad {\mathcal {A}}({\mathcal {A}}u)(x)=\pi \int _{0}^{x}u(y)\,dy$$.

De cette formule, il en résulte que :

• La transformation d'Abel est un opérateur injectif de ${\mathcal {C}}^{0}([0,a])$.

• Si $v\in \Im (A)$ alors son antécédent est $u={\frac {1}{\pi }}({\mathcal {A}}v)'$.

• L'image de ${\mathcal {A}}$ est l'espace ${\mathcal {C}}_{0}^{1}([0,a])$ des fonctions dérivables qui s'annulent en $0$.