Utilisateur:ThibautLienart/Thm Mittag Leffler

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Brouillon

Théorème d'expansion de Mittag-Leffler

Théorème de Mittag-Leffler

Théorème de Runge

// brouillon MLT. Sources - these, etc.

• These
• FORSYTH : 137 et +
• HENRICCI : 671 et + (lie MLT et l'expansion en fraction partielle d'une f mérom).
• KRANTZ : 286
• LANG : 403 (good proof)
• JORDAN (v2) : 343 - preuve = ?
• RUDIN - 284 + preuves liant à Runge = moderne.

• • GB : Complex made simple ici

//

Enoncé

Soient $\Omega \subsetneq \mathbb {\hat {C}}$ un ouvert avec $\infty \in \Omega$ et $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots$ un ensemble fini ou infini dénombrable d'éléments distincts de $\Omega$ sans point d'accumulation dans $\Omega$. On associe à chaque élément $\alpha _{k}$ un entier positif $m(j)$ ainsi qu'une fonction rationnelle $P_{k}$ définie par :

$P_{k}(z)=\sum _{j=-m(k)}^{-1}c_{k,j}(z-\alpha _{k})^{j}$

Alors, il existe une fonction méromorphe $f\in \Omega$ dont la partie principale à chaque $\alpha _{k}$ est $P_{k}$ et qui n'a pas d'autres pôles dans $\Omega$.

Démonstration

Résultat préliminaire

Il existe plusieurs démonstrations du théorème dont certaines reposent sur le théorème de Runge, une version plus simple est présentée ci-dessous, nous avons cependant besoin de l'énoncé suivant :

Lemme de poussage de pôle — Soit $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ et définissons

$A(z)=\sum _{j=-M}^{-1}a_{j}(z-\alpha )^{j}$

pour un certain entier $M\geq 1$. Soient $r>|\alpha -\beta |$ et $\epsilon >0$ alors, il existe une série finie

$B(z)=\sum _{j=-N}^{K}b_{j}(z-\beta )^{j}$

pour certains entiers $N\geq 1$ et $K\geq 0$ telle que

$|A(z)-B(z)|<\epsilon \quad \left(\forall z\in {\hat {\mathbb {C} }}\backslash D(\beta ,r)\right)$

où $D(\beta ,r)$ représente le disque ouvert de rayon r et centré en $\beta$.

Démonstration du lemme

On a :

$(z-\alpha )^{-1}=(z-\beta )^{-1}\cdot {1 \over 1-(\alpha -\beta )(z-\beta )^{-1}}$

que l'on peut encore exprimer sur n'importe quel sous-ensemble compact de $\{z:|z-\beta |>|\alpha -\beta |\}$ par la série uniformément convergente suivante :

$(z-\alpha )^{-1}=(z-\beta )^{-1}\sum _{j=0}^{\infty }\left((\alpha -\beta )(z-\beta )^{-1}\right)^{j}$

Il suffit alors de remplacer cette expression de $(z-\alpha )^{-1}$ dans la définition de $A(z)$ pour obtenir un développement de A autour de $\beta$ et de prendre pour B une somme partielle suffisamment grande de ce développement.

 

Démonstration

Si il y a seulement un nombre fini d'éléments $\alpha _{k}$, alors il suffit de prendre $f=\sum _{k}P_{k}$ pour satisfaire à l'énoncé. Nous supposerons donc qu'il y a une infinité d'éléments $\alpha _{k}$.

Pour chaque k, soit ${\hat {\alpha }}_{k}\in {\hat {\mathbb {C} }}\backslash \Omega$ un point (pas nécessairement unique) le plus proche de $\alpha _{k}$ et posons $d_{k}=|{\hat {\alpha }}_{k}-\alpha _{k}|$.

Pour chaque k, on applique le lemme de poussage de pôle pour trouver un polynôme $T_{k}$ en puissance négative de $(z-{\hat {\alpha }}_{k})$ tel que :

$|P_{k}(z)-T_{k}(z)|<2^{-j}\quad \left(\forall z\in {\hat {\mathbb {C} }}\backslash D[{\hat {\alpha }}_{k},2d_{k}]\right)\qquad (\dagger )$

où $D[{\hat {\alpha }}_{k},2d_{k}]$ désigne le disque fermé centré en ${\hat {\alpha }}_{k}$ et de rayon $2d_{k}$.

On va montrer que

$\sum _{j=1}^{\infty }\left(P_{k}(z)-T_{k}(z)\right)\qquad (\dagger \dagger )$

est la fonction méromorphe vérifiant l'énoncé.

Pour ce faire, il suffit de vérifier la convergence uniforme sur tout sous-ensemble compact de $\Omega \backslash \{\alpha _{k}\}$

Comme ${\hat {\mathbb {C} }}\backslash \Omega$ est compact, on a que $d_{k}\to 0$ pour $k\to \infty$. Soit un disque fermé $D[a,r]\subseteq \Omega \backslash \{\alpha _{k}\}$ et prenons un $K$ suffisamment grand pour que $k\geq K$ implique

$2d_{k}<\mathrm {dist} \left(D[a,r],{\hat {\mathbb {C} }}\backslash \Omega \right)$

alors, $D[a,r]\subseteq \Omega \backslash D[{\hat {\alpha }}_{k},2d_{k}]$ pour $k\geq K$ et $(\dagger )$ et

$|P_{k}(z)-T_{k}(z)|<2^{-j}\quad \left(\forall z\in D[a,r]\right)$

Le test M de Weierstrass implique alors la convergence uniforme de $(\dagger \dagger )$ sur $D[a,r]$ et étant donné que le disque $D[a,r]\subseteq \Omega \backslash \{\alpha _{k}\}$ a été choisi de manière arbitraire, la convergence uniforme est prouvée.

Notes

Références