En mathématiques, et particulièrement en algèbre linéaire et combinatoire, la matrice de Pascal est une matrice dont les coefficients sont les coefficients binomiaux.

Définitions

Définition de U, S et L

Il y a trois façons de la définir à partir des coefficients binomiaux $C_{n}^{k}$ :

par une matrice symétrique que l'on notera $S$ définie par $S_{ij}=C_{i+j-2}^{i-1}$
par une matrice triangulaire inférieure que l'on notera $L$ définie par $L_{ij}={\begin{cases}C_{i-1}^{j-1}&{\mbox{si }}i\leq j\\0&{\mbox{sinon }}\end{cases}}$
par une matrice triangulaire supérieure que l'on notera $U$ définie par $U_{ij}={\begin{cases}C_{j-1}^{i-1}&{\mbox{si }}j\geq i\\0&{\mbox{sinon }}\end{cases}}$

Définition à l'ordre n

Il est possible de restreindre ces définitions à l'ordre n en définissant le matrices $U_{n}$ , $S_{n}$ et $L_{n}$ .

Pour $n=5$ , les matrices valent respectivement :

$U_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&2&3&4\\0&0&1&3&6\\0&0&0&1&4\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\,\,\,$ , $L_{5}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\1&2&1&0&0\\1&3&3&1&0\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\,\,\,$ , $S_{5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5\\1&3&6&10&15\\1&4&10&20&35\\1&5&15&35&70\end{pmatrix}}.$

Propriétés

Le produit des matrices triangulaires est égal à la matrice symétrique. En d'autres termes, $S_{n}=L_{n}.U_{n}$ ^[1]

Il est aisé de voir que le déterminant des matrices U et L vaut 1 car pour une matrice diagonale, le déterminant est égal aux produit des coefficients diagonaux.

Le déterminant du produit de deux matrices étant le produit des déterminants des deux matrices, $detS=detS_{n}=1$ .