Utilisateur:Toinou Thithi/Brouillon

Diffusion d’un champ électromagnétique alternatif dans une tôle paramagnétique

Cette article détaille la résolution algébrique et numérique, par différences finies de l'équation de diffusion d’un champ magnétique alternatif dans une tôle métallique paramagnétique infini. La résolution directe par différences finies passe par le calcul du déterminant d’une matrice. Le déterminant s'écrivant sous forme d'un polynômes de Vieta ; lui même étant un polynômes de type de Fibonacci. La résolution des équation permet de mettre en évidence l'effet pédiculaire.

Équations de diffusion

Tout problèmes électromagnétique se résout à l’aide des équations de Maxwell. Ce sont des équations fondamentales de l’électromagnétisme. Elles seront écrites sous leurs formes dérivées avec l’approximation des régimes quasi stationnaires. Approximation largement utilisée en magnétodynamique.

Les équations de la magnétodynamique

Coordonnées cartésiennes tridimensionnelles $\mathbf {p} =\{x,y,z\}$

Soit les équations de Maxwell simplifiées :

1. L’équation de Maxwell-Ampère : ${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {H}}(\mathbf {p} ,t)={\vec {J}}(\mathbf {p} ,t)$
2. L’équation de Maxwell-Faraday : ${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}(\mathbf {p} ,t)=-{\frac {\partial {\vec {B}}(\mathbf {p} ,t)}{\partial t}}$
3. Loi de Biot et Savart : ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}({\textbf {p}},t)=0$

À l'équation de Maxwell-Ampère on applique l'opérateur divergence : ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\wedge {\vec {H}}(\mathbf {p} ,t)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}(\mathbf {p} ,t)$, or la divergence d'un rotationnel est nul.

Alors : ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}(\mathbf {p} ,t)=0$

À ces équations s’ajoute les équations de constitution :

1. ${\vec {B}}=\mu \cdot {\vec {H}}$
2. ${\vec {J}}=\sigma \cdot {\vec {E}}$

Avec :

• ${\vec {\nabla }}\wedge (\cdot )$ : équivalant à l'opérateur rotationnel
• ${\vec {\nabla }}\cdot (\cdot )$ : équivalant à l'opérateur divergence
• $\mathbf {p} =\{x,y,z\}$ : position en coordonnée cartésienne
• $t$ : temps
• ${\vec {H}}$ : champ magnétique
• ${\vec {B}}$ : champ (d'induction) magnétique
• ${\vec {E}}$ : champ électrique
• ${\vec {J}}$ : vecteur densité de courant
• $\mu$ : perméabilité magnétique du matériau
• $\sigma$ : conductivité électrique du matériau

Les équations de diffusion sous forme spatio-temporel

On applique l’opérateur rotationnel à chacun des membres de l'équation de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday et des équations de constitution on trouve  :

1. ${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {H}}({\textbf {p}},t)=\sigma \cdot \mu \cdot {\frac {\partial {\vec {H}}({\textbf {p}},t)}{\partial t}}$
2. ${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}({\textbf {p}},t)=\sigma \cdot \mu \cdot {\frac {\partial {\vec {E}}({\textbf {p}},t)}{\partial t}}$
3. ${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {H}}({\textbf {p}},t)=\sigma \cdot \mu \cdot {\frac {\partial {\vec {H}}({\textbf {p}},t)}{\partial t}}$
4. ${\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}({\textbf {p}},t)=\sigma \cdot \mu \cdot {\frac {\partial {\vec {E}}({\textbf {p}},t)}{\partial t}}$

Avec :

• ${\vec {\nabla }}^{2}(\cdot )$ : équivalant à l'opérateur laplacien vectoriel

Cas d'une diffusion unidirectionnel

On se place dans un système de coordonnée cartésienne $\{x,y,z\}$. Soit une tôle infiniment grande suivent les directions $y$ et $z$ et d'épaisseur $Ep_{x}$. Le champ magnétique est tangent et uniforme aux surfaces de la tôle. Dans ses conditions il y a absence de composantes horizontales du champs magnétique : $H_{x}=0$ et $H_{y}=0$ et il y invariance par translation suivant $y$ et $z$ : ${\frac {\partial H_{z}({\textbf {p}},t)}{\partial y}}=0$ et ${\frac {\partial H_{z}({\textbf {p}},t)}{\partial z}}=0$. Alors on en déduit l’équation de diffusion spatio-temporel du champ magnétique dans ces conditions : ${\frac {\partial ^{2}H_{z}(x,t)}{\partial x^{2}}}=\mu \cdot \sigma \cdot {\frac {\partial H_{z}(x,t)}{\partial t}}$. De même l’équation de diffusion spatio-temporel de l'induction magnétique dans ces conditions s'écrie : ${\frac {\partial ^{2}B_{z}(x,t)}{\partial x^{2}}}=\mu \cdot \sigma \cdot {\frac {\partial B_{z}(x,t)}{\partial t}}$. Soit l'équation de Maxwell-Ampère écrite sous forme développé :${\begin{bmatrix}{\cancel {\frac {\partial H_{z}(\mathbf {p} ,t)}{\partial y}}}-{\cancel {\frac {\partial H_{y}(\mathbf {p} ,t)}{\partial z}}}\\{\cancel {\frac {\partial H_{x}(\mathbf {p} ,t)}{\partial z}}}-{\frac {\partial H_{z}(\mathbf {p} ,t)}{\partial x}}\\{\cancel {\frac {\partial H_{y}(\mathbf {p} ,t)}{\partial x}}}-{\cancel {\frac {\partial H_{x}(\mathbf {p} ,t)}{\partial y}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{x}(\mathbf {p} ,t)\\J_{y}(\mathbf {p} ,t)\\J_{z}(\mathbf {p} ,t)\end{bmatrix}}$. Seul la composante horizontal $J_{y}$ de la densité de courant existe, il y à toujours invariance par translation suivant $y$ et $z$ : ${\frac {\partial J_{y}({\textbf {p}},t)}{\partial y}}=0$ et ${\frac {\partial J_{y}({\textbf {p}},t)}{\partial z}}=0$. Alors on en déduit l’équation de diffusion spatio-temporel de la densité de courant dans ces conditions : ${\frac {\partial ^{2}J_{y}(x,t)}{\partial x^{2}}}=\mu \cdot \sigma \cdot {\frac {\partial J_{y}(x,t)}{\partial t}}$. De même l’équation de diffusion spatio-temporel du champ électrique dans ces conditions s'écrie : ${\frac {\partial ^{2}E_{y}(x,t)}{\partial x^{2}}}=\mu \cdot \sigma \cdot {\frac {\partial E_{y}(x,t)}{\partial t}}$.

L'ensemble des équations est résumé comme suit, ou $u$ est la grandeur diffusant : $u\in \{H_{z},B_{z},J_{y},E_{y}\}$