Utilisateur:Ululo/Bac à sable

Preuve

Établissement de l'équation fonctionnelle

L'expérience aléatoire consiste à choisir au hasard une des molécules du gaz et à mesurer sa vitesse ${\vec {v}}$. Soit ${\vec {v_{0}}}$ une vitesse fixée.

$P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]=P[(v_{x}\in [v_{0_{x}},v_{0_{x}}+dv])\cap (v_{y}\in [v_{0_{y}},v_{0_{y}}+dv])\cap (v_{z}\in [v_{0_{z}},v_{0_{z}}+dv])]$

Or sous hypothèse d'entropie maximale les variables aléatoires $v_{x}$, $v_{y}$ et $v_{z}$ sont indépendantes et on peut alors écrire :

$P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]=P[v_{x}\in [v_{0_{x}},v_{0_{x}}+dv]]\times P[v_{y}\in [v_{0_{y}},v_{0_{y}}+dv]]\times P[v_{z}\in [v_{0_{z}},v_{0_{z}}+dv]]$

Or sous hypothèse d'isotropie les lois de probabilité de $v_{x}$, $v_{y}$ et $v_{z}$ sont identiques et donc :

$P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]=P[v_{x}\in [v_{0_{x}},v_{0_{x}}+dv]]\times P[v_{x}\in [v_{0_{y}},v_{0_{y}}+dv]]\times P[v_{x}\in [v_{0_{z}},v_{0_{z}}+dv]]$

Ce qui s'écrit encore, avec $f$ la densité de $v_{x}$ :

$P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]=f(v_{0_{x}})f(v_{0_{y}})f(v_{0_{z}})dv^{3}$

Or sous hypothèse d'isotropie la probabilité que ${\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}$ ne peut dépendre que de la norme de ${\vec {v_{0}}}$ ; autrement dit :

$P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]=P[{\vec {v}}\simeq {\begin{pmatrix}v_{0}\\0\\0\end{pmatrix}}]$

C'est-à-dire en utilisant la relation ci-dessus :

$P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]=f(v_{0})(f(0))^{2}dv^{3}$

En égalisant les deux expressions trouvées pour $P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]$, on peut alors écrire une propriété de $f$ :

$\forall (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3},f(a)f(b)f(c)=f({\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}})f^{2}(0)$

Résolution de l'équation fonctionnelle

En posant : $\forall x\in \mathbb {R} _{+},g(x)=f({\sqrt {x}})$, et en prenant $c=0$, il vient :

$\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},g(a^{2})g(b^{2})=g(a^{2}+b^{2})f(0)$

C'est-à-dire, en supposant $f(0)\neq 0$

$\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},{\frac {g(a^{2})}{f(0)}}\times {\frac {g(b^{2})}{f(0)}}={\frac {g(a^{2}+b^{2})}{f(0)}}$

où l'on reconnaît que la fonction $x^{2}\mapsto g(x^{2})/f(0)$ est une exponentielle, c'est-à-dire :

$\exists \lambda \in \mathbb {R} /\forall x\in \mathbb {R} ,g(x^{2})=f(0)e^{-\lambda x^{2}}$

Donc, puisque $\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=g(x^{2})$, il vient :

$\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=f(0)e^{-\lambda x^{2}}$

Détermination des coefficients

Pour déterminer les coefficients $f(0)$ et $\lambda$, écrivons d'abord :

$P[v_{x}\in \mathbb {R} ]=1$

c'est-à-dire :

$\int _{\mathbb {R} }f(0)e^{-\lambda x^{2}}dx=1$

c'est-à-dire en utilisant la symétrie et en changeant de variable :

${\frac {2f(0)}{\sqrt {\lambda }}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx=1$

en calculant l'intégrale il vient :

$f(0){\sqrt {\frac {\pi }{\lambda }}}=1$

Intéressons-nous désormais à l'énergie cinétique $<K>$ moyenne d'une molécule de gaz. Elle s'écrit naturellement :

$<K>={\frac {1}{2}}m<v^{2}>$

où $m$ est la masse d'une molécule de gaz et $<v^{2}>$ l'espérance de la variable aléatoire ${\vec {v}}^{2}$. On a évidemment $<v^{2}>=<v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}>$. En utilisant l'indépendance des variables aléatoires il vient : $<v^{2}>=<v_{x}^{2}>+<v_{y}^{2}>+<v_{z}^{2}>$ ; et sous hypothèse d'istropie on a alors :

$<v^{2}>=3<v_{x}^{2}>$.

Or on connaît la densité $f$ de $v_{x}$ donc on peut écrire :

$<v_{x}^{2}>=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx=2f(0)\int _{0}^{+\infty }x^{2}e^{-\lambda x^{2}}dx$

On utilise un changement de variable :

$<v_{x}^{2}>={\frac {f(0)}{\lambda {\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {x}}e^{-x}dx={\frac {1}{2}}{\frac {f(0)}{\lambda }}{\sqrt {\frac {\pi }{\lambda }}}$

et donc en utilisant ${\sqrt {\pi /\lambda }}=1/f(0)$ comme montré ci-dessus :

$<v_{x}^{2}>={\frac {1}{2\lambda }}$

En reportant dans l'expression de $<K>$ il vient :

$<K>={\frac {3}{2}}{\frac {m}{2\lambda }}$

Or on peut écrire d'autre part :

$<K>={\frac {3}{2}}k_{B}T$

avec $T$ la température du gaz. En égalisant ces deux expressions de $<K>$ on obtient :

$\lambda ={\frac {m}{2k_{B}T}}$

En reportant dans l'expression de $f(0)$ il vient :

$f(0)={\sqrt {\frac {\lambda }{\pi }}}={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{B}T}}}$

Conclusion

On a donc montré :

$\forall x\in \mathbb {R} ,f(x)={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{B}T}}}e^{-{\frac {mx^{2}}{k_{B}T}}}$

On en déduit :

$P[{\vec {v}}\simeq {\vec {v_{0}}}]=f(v_{0})f^{2}(0)dv^{3}=\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {mv_{0}^{2}}{k_{B}T}}}dv^{3}$