Variété hyperbolique

En mathématiques, une variété hyperbolique est un espace dans lequel chaque point apparaît localement comme espace hyperboliqueespace hyperbolique d'une certaine dimension. Ces variétés sont spécifiquement étudiées en dimensions 2 et 3, où elles sont appelées respectivement surfaces de Riemann et 3-variétés hyperboliques (en). Dans ces dimensions, elles sont importantes parce que la plupart des variétés peuvent être transformées en variétés hyperboliques par homéomorphisme. C'est une conséquence du théorème d'uniformisation de Riemann pour les surfaces et de la conjecture de géométrisation de Thurston, prouvée par Grigori Perelman, pour les 3-variétés.

Une projection en perspective d'un pavage dodécahédrique dans H3. C'est un exemple de ce qu'un observateur pourrait observer à l'intérieur d'une 3-variété hyperbolique

La pseudosphère : chaque moitié de cette forme est une surface hyperbolique à bord.

Définition rigoureuse

Une n-variété hyperbolique est une n-variété riemannienne de courbure sectionnelle constante et égale à –1. Plus précisément, toute n-variété connexe et simplement connexe de courbure négative constante (et égale à –1) est isométrique à l'espace hyperbolique $\mathbb {H} ^{n}$.

Il en résulte que le revêtement universel de toute variété V de courbure négative constante est l'espace hyperbolique $\mathbb {H} ^{n}$, et V peut alors s'écrire $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$, où Γ est un groupe discret d'isométries de $\mathbb {H} ^{n}$, c'est-à-dire un sous-groupe discret de SO⁺(1, n) ; V est de volume fini si et seulement si Γ est un réseau.

Voir aussi

• Lemme de Margulis
• Théorème d'hyperbolisation (en)
• Variété invariante normalement hyperbolique (en)

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperbolic manifold » (voir la liste des auteurs).

• (en) Michael Kapovich, Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups, Boston, Birkhäuser, coll. « Modern Birkhäuser Classics », 2001, 470 p. (ISBN 978-0-8176-4912-8, DOI 10.1007/978-0-8176-4913-5, MR 1792613)
• (en) Colin Maclachlan et Alan W. Reid, The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds, Springer-Verlag, coll. « GTM » (n^o 219), 2003, 463 p. (ISBN 978-0-387-98386-8, DOI 10.1007/978-1-4757-6720-9, MR 1937957, présentation en ligne)
• (en) John G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Berlin, New York, coll. « GTM » (n^o 149), 1994 (réimpr. 2006), 782 p. (ISBN 978-0-387-33197-3, DOI 10.1007/978-0-387-47322-2, MR 2249478, lire en ligne)
• (en) Frank Nielsen et Richard Nock, « Hyperbolic Voronoi diagrams made easy », dans Proc. ICCSA 2010, IEEE, 2010 (DOI 10.1109/ICCSA.2010.37, arXiv 0903.3287), p. 74-80