Variable de contrôle

Pour la méthode de Monte-Carlo, une variable de contrôle peut être utilisée afin d'obtenir une réduction de la variance, en exploitant la corrélation entre plusieurs statistiques.

Exposé du principe

On cherche à estimer le paramètre $µ$ , et on dispose d'une estimation $m$ non-biaisée de $µ$ ; autrement dit, $\mathbb {E} \left[m\right]=\mu$ . On dispose d'une autre statistique $t$ , telle que $\mathbb {E} \left[t\right]=\tau$ , et sa corrélation avec $m$ , $ρ mt$ , est connue. En supposant connues toutes ces constantes, on peut construire un nouvel estimateur, pour une constante $c$ donnée :

m^{\star }:=m-c\left(t-\tau \right).

On montre que cet estimateur est un estimateur non-biaisé de $µ$ , quel que soit le choix de la constante $c$ . En outre, on peut montrer que le choix

c:={\frac {\sigma _{m}}{\sigma _{t}}}\rho _{mt}

permet de minimiser la variance $\sigma _{m^{\star }}^{2}$ de $m^{\star }$ . Pour ce choix de $c$ , la variance de l'estimateur vaut alors

\sigma _{m^{\star }}^{2}=\left(1-\rho _{mt}^{2}\right)\sigma _{m}^{2}

;

Par construction, la variance de $m^{\star }$ sera inférieure à celle de l'estimateur initial $m$ , d'où le terme de réduction de variance. Plus la corrélation est importante, plus la réduction de la variance sera importante.

Lorsque les écart-type $σ m$ , $σ t$ , ou la corrélation $ρ mt$ sont inconnus, on peut les remplacer par leurs estimations empiriques.

Exemple

On souhaite évaluer

\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+t}}\,\mathrm {d} t

dont la vraie valeur est $\ln(2)=0,69315$ . Puisque cette intégrale peut être vue comme l'espérance de $f (U)$ , avec $U$ la loi uniforme continue standard sur [0;1] et $f(x)=(1+x)^{-1}$ , une estimation de Monte-Carlo est envisageable.

L'estimation classique se base sur un échantillon de n tirages de la loi uniforme $u 1, ..., u n$ et vaut

I_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i}f(u_{i})

On introduit comme variable de contrôle $T = 1+ U$ . Cette variable est uniforme continue sur [1;2], son espérance vaut 3/2 et sa variance 1/12. Par construction, sa covariance avec $f (U)$ est

1-{3 \over 2}\times \mathbb {E} (m)=-{\frac {3\ln 2-2}{2}}

.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on peut continuer à évaluer exactement toutes les autres quantités entrant en jeu dans la méthode ; mais le plus pratique reste de remplacer tous les moments par leur contrepartie empirique. Avec un échantillon de $n = 1500$ réplications, on trouve $σ m = 0,14195$ , $ρ = -0,98430$ et $σ t = 0,29002$ . La constante optimale vaut -0,48175. On trouve les résultats suivants :

	Estimation	Variance
Monte Carlo basique	0,69631	0,02015
Monte Carlo – contrôle	0,69356	0,00063

Grâce à la corrélation massivement négative avec la variable de contrôle, on parvient à réduire très significativement la variance de l'estimateur de Monte-Carlo.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Control variates » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

(en) M. Kahn et A. W. Marshall, Methods of reducing sample size in Monte-Carlo computations, Operations Research, 1, 263, 1953.

Références

(en) Averill M. Law & W. David Kelton, Simulation Modeling and Analysis, 3^e édition, 2000, (ISBN 0-07-116537-1)
(en) S. P. Meyn. Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press, 2007. (ISBN 9780521884419). en ligne

Liens internes

Méthode de Monte-Carlo;
Techniques de réduction de la variance:
- échantillonnage préférentiel (mieux connue sous le terme anglais importance sampling);
- variable antithétique;
- stratification ;
- conditionnement (Monte-Carlo).