Sous-espace caractéristique
Définitions
modifierSoient un -espace vectoriel de dimension finie, un endomorphisme de et une valeur propre de .
On appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur propre le sous-espace vectoriel
Id étant l'application identité et la multiplicité de dans le polynôme minimal de . Cet exposant est celui pour lequel le noyau dans la formule atteint sa dimension maximale : si on le remplace par une valeur plus grande, le noyau ne change plus. Pour cette raison on pourra aussi prendre la multiplicité de dans le polynôme caractéristique, car celle-ci est toujours supérieur ou égale à , d'après le théorème de Cayley-Hamilton.
Un vecteur est un vecteur propre généralisé de associé à si est non nul et s'il existe un entier tel que , autrement dit si .
Propriétés
modifierLes sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme.
En effet, un endomorphisme d'un espace vectoriel est trigonalisable si et seulement si est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de , c'est-à-dire si et seulement s'il existe une base de formée de vecteurs propres généralisés de . Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique, qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.