Verger d'Euclide
En mathématiques, le verger d'Euclide est, de manière informelle, un tableau d'« arbres » de même hauteur plantés aux nœuds d'un quadrant du réseau carré [1].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Verger.gif/220px-Verger.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Oliviers_alignes.jpg/220px-Oliviers_alignes.jpg)
Plus formellement, le verger d'Euclide est l'ensemble des segments de droite joignant le point (i, j, 0) au point (i, j, 1), où i et j sont des entiers strictement positifs.
Propriétés
modifier-
Vue de dessus ; les arbres marqués par un point bleu sont ceux qui sont visibles depuis l'origine.
-
Autre vue de dessus où les arbres sont étiquetés par la coordonnée x de leur projection sur le plan x + y = 1.
-
Vue du verger d'Euclide en perspective centrale centrée en l'origine, dans la direction de la première bissectrice (droite d'équation y = x). Les arbres rouges sont ceux à distance « vertico-horizontale » égale à 2 de cette bissectrice.
Les arbres visibles à partir de l'origine sont ceux dont la base est un point (m, n, 0), où m et n sont premiers entre eux, c'est-à-dire tels que la fraction mn est irréductible. L'algorithme d'Euclide, qui permet de déterminer si deux entiers sont premiers entre eux, est à l'origine de l'appellation verger d'Euclide.
Si le verger est projeté depuis l'origine sur le plan x + y = 1 (ou, de manière équivalente, dessiné en perspective à partir d'un point de vue situé à l'origine), les cimes respectives des arbres forment le graphe de la fonction de Thomae. En effet, le point (m, n, 1) se projette en
Voir aussi
modifierLien externe
modifier"Des fonctions monstrueuses mais utiles", article de Pour la Science.
Notes et références
modifierNote
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euclid's orchard » (voir la liste des auteurs).
Références
modifier- (en) Eric W. Weisstein, « Euclid's Orchard », sur MathWorld.