Zone sphérique

Une zone sphérique est la portion d'une sphère comprise entre deux plans parallèles qui coupent cette sphère (c'est donc un tronc de sphère). Lorsqu'un des plans est tangent à la sphère, la zone est appelée une calotte sphérique. Lorsqu'un des plans est tangent à la sphère et l'autre passe par le centre, la zone est appelée un hémisphère. Un hémisphère est la moitié d'une sphère.

Une zone sphérique

Aire

L'aire d'une zone sphérique ou d'une calotte sphérique est donnée par la formule suivante :

$S=2\pi Rh\,$

dans laquelle :
$R$ est le rayon de la sphère ;
$h$ est la distance entre les deux plans parallèles.

Elle est égale à l'aire d'un tronc de cylindre de mêmes rayon et hauteur, ce qui avait été remarqué par Archimède dans son traité  : de la sphère et du cylindre.

Démonstration par le calcul intégral

Nous calculons plus généralement l'aire de l'intersection de la zone sphérique avec un fuseau sphérique d'angle dièdre $\alpha$.

En coordonnées sphériques ( θ désigne la colatitude et φ la longitude), les deux plans sont situés aux colatitudes $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$, avec $h=R\cos \theta _{2}-R\cos \theta _{1}$.

L'élément de surface est $dS=r\sin \theta d\theta rd\varphi$ donc

$S=\int _{-\alpha /2}^{\alpha /2}\int _{\theta _{2}}^{\theta _{1}}R^{2}\sin \theta d\theta d\varphi =\alpha R^{2}\int _{\theta _{2}}^{\theta _{1}}\sin \theta d\theta d\varphi =\alpha R^{2}(\cos \theta _{2}-\cos \theta _{1})=\alpha Rh$.

Pour $\alpha =2\pi$, on obtient l'aire de la zone : $S=2\pi Rh\,$ et pour $h=2R$, on obtient l'aire du fuseau : $S=2\alpha R^{2}$.

Relation avec les cercles délimitant la zone

Les rayons $r_{1}$ et $r_{2}$ des cercles délimitant la zone sont reliés au rayon de la sphère par la relation :

$R^{2}=r_{2}^{2}+{\frac {\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}-h^{2}\right)^{2}}{4h^{2}}}$.

En effet, si $z$ est l'ordonnée du cercle de base, on a $R^{2}=z^{2}+r_{1}^{2}=(z+h)^{2}+r_{2}^{2}=z^{2}+2zh+h^{2}+r_{2}^{2}$, donc $z={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}-h^{2}}{2h}}$ et $R^{2}={\frac {\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}-h^{2}\right)^{2}}{4h^{2}}}+r_{2}^{2}$.

Voir aussi

• Volume et aire d'une calotte sphérique
• Application au calcul du centre de gravité d'un arc de cercle par le théorème de Guldin
• Segment sphérique, partie de l’espace limitée par une zone sphérique et les disques supérieur et inférieur
• Fuseau sphérique
• Onglet sphérique
• Formulaire de géométrie classique