Éclatement (mathématiques)

Cet article est une ébauche concernant la géométrie.

En mathématiques, un éclatement est un type d'application birationnelle entre variétés analytiques (en) ou algébriques

f : X \to Y

qui est un isomorphisme en dehors de sous-variétés propres

E \subset X, D \subset Y .

Le cas le plus simple est celui où $D$ est un point ; $E$ est alors un diviseur isomorphe à un espace projectif.

Exemple

L'éclatement de l'origine dans $ℂ^{n}$ s'obtient de la façon suivante. Soit $ℙ^{n - 1}$ l'espace projectif de dimension $n - 1$ muni de coordonnées $y_{1}, \dots, y_{n}$ . Soit $X$ le sous-ensemble de $ℂ^{n} \times ℙ^{n - 1}$ défini par les équations $x_{i} y_{j} = x_{j} y_{i}$ pour $i, j = 1, \dots, n$ . La projection

π : ℂ^{n} \times ℙ^{n - 1} \to ℂ^{n}

induit une application

f : X \to ℂ^{n}

qui est un éclatement de l'origine.

Éclatement d'un schéma

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Références

(en) Phillip Griffiths et Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, New York, John Wiley & Sons, 1978, 813 p. (ISBN 0-471-32792-1)
(en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry [détail des éditions]

Voir aussi

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