Épigraphe (mathématiques)

Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $𝔼$ à valeurs dans la droite réelle achevée $\overline{ℝ} = ℝ \cup {- \infty, + \infty}$ . L'épigraphe de $f$ est l'ensemble noté $epi f$ et défini par

epi f = {(x, α) \in 𝔼 \times ℝ : f (x) ⩽ α} .

Il s'agit donc de l'ensemble des points de l'ensemble produit $𝔼 \times ℝ$ qui sont situés au-dessus du graphe de $f$ (épi venant du grec ancien et signifiant sur, au-dessus).

L'épigraphe strict de $f$ est l'ensemble noté ${epi}_{s} f$ et défini par

${epi}_{s} f = {(x, α) \in 𝔼 \times ℝ : f (x) < α} .$

Exemples d'utilisation

L'épigraphe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. En voici deux exemples.

Si $𝔼$ est un espace topologique, on démontre qu'une application $f : 𝔼 \to \overline{ℝ}$ est semi-continue inférieurement si et seulement si son épigraphe est un fermé de l'espace topologique produit $𝔼 \times ℝ$ . En analyse convexe, une telle application est dite fermée^[1].
Si $𝔼$ est un espace vectoriel réel, on dit^[2] que $f : 𝔼 \to \overline{ℝ}$ est convexe si son épigraphe est un convexe de l'espace vectoriel produit $𝔼 \times ℝ$ .

Notes et références

↑ Cette notion ne doit pas être confondue avec celle d'application fermée en topologie générale.
↑ (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 3^e éd. (lire en ligne), p. 254.

Articles connexes

Hypographe

Portail de l'analyse

[1] Cette notion ne doit pas être confondue avec celle d'application fermée en topologie générale.

[2] (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 3^e éd. (lire en ligne), p. 254.

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