Équation des géodésiques

Dans une variété riemannienne, on obtient l'équation d'une géodésique en exprimant que sa longueur est minimale – par définition.

Un système de coordonnées $x^{i}$ étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale^[1] :

d s = \sqrt{\pm g_{i j} d x^{i} d x^{j}}

.

Le signe optionnel $\pm$ est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable $τ$ , on écrit

\dot{s} = \frac{d s}{d τ} = \sqrt{\pm g_{i j} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j}}

,

où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à $τ$ . La longueur de la trajectoire est donc égale à l'intégrale :

\int \sqrt{\pm g_{i j} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j}} d τ

En utilisant la méthode de Lagrange relative au calcul des variations pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

$\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^{k}} - \frac{d}{d τ} (\frac{\partial \dot{s}}{\partial {\dot{x}}^{k}}) = 0$

La paramétrisation canonique $τ = s$ des trajectoires permet d'obtenir une équation mettant en jeu les symboles de Christoffel :

{\ddot{x}}^{k} + Γ_{i j}^{k} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} = 0

Démonstration

Explicitant $\dot{s}$ dans l'équation géodésique précédente :

\frac{\partial \dot{s}}{\partial x^{k}} - \frac{d}{d τ} (\frac{\partial \dot{s}}{\partial {\dot{x}}^{k}}) = 0

,

on a, en notant $g_{i j, k} = \partial_{k} g_{i j}$ la dérivée partielle du tenseur métrique par rapport à la k-ème coordonnée :

\frac{1}{2 \dot{s}} g_{i j, k} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} - \frac{d}{d τ} (\frac{1}{\dot{s}} g_{k i} {\dot{x}}^{i}) = 0

Paramétrons la trajectoire par sa longueur $s$ , c’est-à-dire posons $τ = s$ . Avec ce choix, on a $\dot{s} = 1$ et l'équation géodésique devient

\frac{1}{2} g_{i j, k} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} - \frac{d}{d s} (g_{k i} {\dot{x}}^{i}) = 0

Comme le tenseur métrique dépend de $x^{i}$ mais pas explicitement de ${\dot{x}}^{i}$ , on a $\frac{d g_{k i}}{d s} = g_{k i, j} \frac{d x^{j}}{d s} = g_{k i, j} {\dot{x}}^{j}$ et l'équation géodésique prend la forme

\frac{1}{2} g_{i j, k} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} - g_{k i, j} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} - g_{k i} {\ddot{x}}^{i} = 0

ou encore, en utilisant le fait que les indices i et j jouent des rôles symétriques, et donc que $g_{k i, j} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} = g_{k j, i} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j}$ :

\frac{1}{2} (g_{i j, k} - g_{k i, j} - g_{k j, i}) {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} - g_{k i} {\ddot{x}}^{i} = 0

Or la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique permet d'affirmer que :

g_{i j, k} = Γ_{i k}^{l} g_{l j} + Γ_{j k}^{l} g_{i l}

g_{k i, j} = Γ_{k j}^{l} g_{l i} + Γ_{i j}^{l} g_{k l}

g_{k j, i} = Γ_{k i}^{l} g_{l j} + Γ_{i j}^{l} g_{k l}

donc, en utilisant la symétrie du tenseur métrique et des symboles de Christoffel :

g_{i j, k} - g_{k i, j} - g_{k j, i} = - 2 Γ_{i j}^{l} g_{k l}

et donc :

- Γ_{i j}^{l} g_{k l} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j} = g_{k i} {\ddot{x}}^{i} = g_{k l} {\ddot{x}}^{l}

en renommant l'indice i en l dans la dernière égalité. Il suffit alors d'appliquer l'inverse du tenseur g pour conclure que :

{\ddot{x}}^{l} = - Γ_{i j}^{l} {\dot{x}}^{i} {\dot{x}}^{j}

.

Exemple

Considérons le demi-plan de Poincaré, dont les points sont repérés par un couple (x,y), avec y > 0. La métrique sur ce demi-plan est donnée au point (x,y) par :

g (x, y) = \frac{d x^{2} + d y^{2}}{y^{2}}

Le calcul des symboles de Christoffel à partir de ce tenseur donne :

Γ_{x x}^{y} = - Γ_{x y}^{x} = - Γ_{y x}^{x} = - Γ_{y y}^{y} = \frac{1}{y}

L'équation des géodésiques donne, en notant $v_{x} = \dot{x}$ et $v_{y} = \dot{y}$ :

{\dot{v}}_{x} - \frac{2}{y} v_{x} v_{y} = 0

{\dot{v}}_{y} + \frac{1}{y} (v_{x}^{2} - v_{y}^{2}) = 0

auxquelles on peut rajouter l'équation $g (v_{x}, v_{y}) = 1$ qui a servi d'hypothèse pour établir l'équation des géodésiques, ce qui donne ici :

\frac{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}{y^{2}} = 1

Si on remplace $v_{y}$ par $\dot{y}$ dans la première équation, on obtient $\frac{d v_{x}}{d y} - \frac{2}{y} v_{x} = 0$ dont les solutions sont de la forme $v_{x} = α y^{2} = \dot{x}$ pour une certaine constante $α$ . La relation $\frac{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}{y^{2}} = 1$ donne alors $v_{y} = \pm y \sqrt{1 - α^{2} y^{2}} = \dot{y}$ .

Si $α$ est nul, on obtient respectivement x constant et $y = e^{\pm t}$ (en choisissant convenablement l'origine des temps). La géodésique est une droite parallèle à Oy, parcourue de façon exponentielle. On s'approche indéfiniment du bord y=0 ou on s'éloigne indéfiniment en faisant tendre t vers l'infini.

Si $α$ est non nul, l'intégration de l'équation $\dot{y} = \pm y \sqrt{1 - α^{2} y^{2}}$ conduit à $y = \frac{1}{α \cosh (t)}$ (en choisissant convenablement l'origine des temps). Puis l'intégration de l'équation $\dot{x} = α y^{2}$ conduit à $x = \frac{\tanh (t)}{α}$ (à translation près parallèlement à Ox). On constate que $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{α^{2}}$ et les géodésiques sont des demi-cercles de diamètre porté par Ox. Quand t tend vers l'infini, on s'approche indéfiniment du bord Oy qui constitue une limite du demi-plan de Poincaré située à l'infini.

Physique

En relativité générale, l'équation des géodésiques est l'équation du mouvement d'une particule libre^[2].

Notes et références

↑ On utilise la convention de sommation d'Einstein, permettant d'alléger les symboles de sommation.
↑ Daniel et Peter 2019, chap. 2, sec. 2.4, p. 103.

Voir aussi

Bibliographie

[Daniel et Peter 2019] Jean-Yves Daniel et Patrick Peter, Cosmologie : la science de l'Univers : cours, exercices et problèmes corrigés, Louvain-la-Neuve et Paris, De Boeck Supérieur, coll. « LMD / physique », octobre 2019, 1^re éd., IV-284-[8] p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-2124-3, EAN 9782807321243, OCLC 1127536715, BNF 46522104, SUDOC 240590430, résumé, présentation en ligne, lire en ligne).

Articles connexes

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Portail de la physique

[1] On utilise la convention de sommation d'Einstein, permettant d'alléger les symboles de sommation.

[DanielPeter2019103<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.4-2] Daniel et Peter 2019, chap. 2, sec. 2.4, p. 103.

[1]

[2]