Équation hypsométrique

L’équation hypsométrique est une équation en météorologie et océanographie qui repose sur l'équation hydrostatique pour : déterminer la différence de géopotentiel entre deux niveaux de pression $p_{1}$ et $p_{2}$ , réduire la pression observée à celle d'une autre altitude et étalonner un baromètre anéroïde^[1].

Équation

L'équation hypsométrique est définie comme^[2]^,^[3]:

h = z_{2} - z_{1} = \frac{R \cdot \bar{T}}{g} \cdot \ln (\frac{p_{1}}{p_{2}})

où :

h

= épaisseur de la couche (m) ;

z

= hauteurs des pressions p₁ et p₂ (m) ;

R

= constante spécifique du gaz parfait pour l'air sec (J/K/kg) (

R = R_{g} / M

avec

R_{g}

la constante des gaz parfaits usuelle, et

M

la masse molaire de l'air).

\bar{T}

= température moyenne de la couche (K) ;

g

= accélération normale de la pesanteur terrestre (m/s²) ;

p

= pression atmosphérique (Pa).

Dérivation de l'équation

L'équation hydrostatique relie la variation de pression atmosphérique ou hydrologique avec celle de la hauteur. La dérivée de p versus z est^[2]^,^[4] :

d p = - ρ \cdot g \cdot δ z

où $ρ$ est la masse volumique (kg/m³) du fluide pour obtenir l'équilibre hydrostatique.

En utilisant l'équation des gaz parfaits^[2]^,^[4] :

p = ρ \cdot R \cdot T

.

Il est possible d'éliminer $ρ$ :

\frac{d p}{p} = \frac{- g}{R \cdot T} d z

.

Ensuite en intégrant de $z_{1}$ à $z_{2}$ ^[2]^,^[4] :

\int_{p (z_{1})}^{p (z_{2})} \frac{d p}{p} = \int_{z_{1}}^{z_{2}} \frac{- g}{R \cdot T} d z

.

R et g sont considérés comme presque constants avec z dans la faible couche atmosphérique, il est donc possible de les mettre sous l'intégrale^[2]^,^[4]. Si la température varie de façon linéaire avec z (comme dans l'atmosphère standard internationale), elle peut être sortie de l'intégrale et remplacée par $\bar{T}$ , une température moyenne de la couche de $z_{1}$ à $z_{2}$ ^[2]^,^[4].

\int_{p (z_{1})}^{p (z_{2})} \frac{d p}{p} = \frac{- g}{R \cdot \bar{T}} \int_{z_{1}}^{z_{2}} d z

L'intégrale donne donc^[4] :

\ln (\frac{p (z_{2})}{p (z_{1})}) = \frac{- g}{R \cdot \bar{T}} (z_{2} - z_{1})

.

Après simplification :

\ln (\frac{p_{1}}{p_{2}}) = \frac{g}{R \cdot \bar{T}} (z_{2} - z_{1})

.

Et réarrangement des termes :

(z_{2} - z_{1}) = \frac{R \cdot \bar{T}}{g} \ln (\frac{p_{1}}{p_{2}})

ou en éliminant le logarithme naturel (ln) :

\frac{p_{1}}{p_{2}} = e^{\frac{g}{R \cdot \bar{T}} \cdot (z_{2} - z_{1})}

.

Notes et références

↑ Organisation météorologique mondiale, « Équation hypsométrique », sur Eumetcal (version du 3 mars 2016 sur archive.org).
1 2 3 4 5 6 « Thermodynamique de l’atmosphère » [PDF], sur Laboratoire de Météorologie Dynamique (consulté le 22 février 2021).
↑ (en) « Hypsometric equation », Glossaire de météorologie, sur American Meteorological Society (consulté le 22 février 2021).
1 2 3 4 5 6 Département de Sciences de la Terre, « La stabilité verticale » [ppt], sur Université du Québec à Montréal (version du 4 mars 2016 sur archive.org).

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hypsometric equation » (voir la liste des auteurs).

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[OMM-1] Organisation météorologique mondiale, « Équation hypsométrique », sur Eumetcal (version du 3 mars 2016 sur archive.org).

[Jussieux-2] 1 2 3 4 5 6 « Thermodynamique de l’atmosphère » [PDF], sur Laboratoire de Météorologie Dynamique (consulté le 22 février 2021).

[3] (en) « Hypsometric equation », Glossaire de météorologie, sur American Meteorological Society (consulté le 22 février 2021).

[UQAM-4] 1 2 3 4 5 6 Département de Sciences de la Terre, « La stabilité verticale » [ppt], sur Université du Québec à Montréal (version du 4 mars 2016 sur archive.org).

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