Équation de Schwinger-Dyson

Cet article est une ébauche concernant la physique théorique.

L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs.

Dérivation

Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état $| ψ >$ (qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a :

⟨ ψ | 𝒯 {\frac{δ}{δ ϕ} F [ϕ]} | ψ ⟩ = - i ⟨ ψ | 𝒯 {F [ϕ] \frac{δ}{δ ϕ} S [ϕ]} | ψ ⟩

avec S la fonctionnelle d'action et $𝒯$ l'opérateur d'ordonnation du temps.

D'une même manière, dans la formulation de la matrice densité, pour tout état (valide) $ρ$ , il y a :

ρ (𝒯 {\frac{δ}{δ ϕ} F [ϕ]}) = - i ρ (𝒯 {F [ϕ] \frac{δ}{δ ϕ} S [ϕ]})

Cet ensemble infini d'équations peut être utilisé pour résoudre les fonctions de corrélation, sans utiliser une approche perturbative.

On peut également réduire l'action S en la séparant :

S [ϕ] = \frac{1}{2} D_{i j}^{- 1} ϕ^{i} ϕ^{j} + S_{i n t} [ϕ]

Le premier terme est la composante quadratique et $D^{- 1}$ un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être réécrites ainsi :

⟨ ψ | 𝒯 {F ϕ^{j}} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | 𝒯 {i F_{, i} D^{i j} - F S_{i n t, i} D^{i j}} | ψ ⟩

Si F est une fonctionnelle de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si

F [ϕ] = \frac{\partial^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}} ϕ (x_{1}) \dots \frac{\partial^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}} ϕ (x_{n})

et que G est une fonction de J, alors :

F [- i \frac{δ}{δ J}] G [J] = (- i)^{n} \frac{\partial^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}} \frac{δ}{δ J (x_{1})} \dots \frac{\partial^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}} \frac{δ}{δ J (x_{n})} G [J]

.

S'il y a une fonction analytique Z (appelée fonctionnelle génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :

\frac{δ^{n} Z}{δ J (x_{1}) \dots δ J (x_{n})} [0] = i^{n} Z [0] ⟨ ϕ (x_{1}) \dots ϕ (x_{n}) ⟩

,

alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :

\frac{δ S}{δ ϕ (x)} [- i \frac{δ}{δ J}] Z [J] + J (x) Z [J] = 0

En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenu.

Un exemple: φ⁴

Pour donner un exemple, supposons

S [φ] = \int d^{d} x (\frac{1}{2} \partial^{μ} φ (x) \partial_{μ} φ (x) - \frac{1}{2} m^{2} φ (x)^{2} - \frac{λ}{4!} φ (x)^{4})

pour un champ réel φ.

Alors,

\frac{δ S}{δ φ (x)} = - \partial_{μ} \partial^{μ} φ (x) - m^{2} φ (x) - \frac{λ}{3!} φ^{3} (x) .

L'équation de Schwinger–Dyson pour cet exemple particulier est donc :

i \partial_{μ} \partial^{μ} \frac{δ}{δ J (x)} Z [J] + i m^{2} \frac{δ}{δ J (x)} Z [J] - \frac{i λ}{3!} \frac{δ^{3}}{δ J (x)^{3}} Z [J] + J (x) Z [J] = 0

Il est à noter que

\frac{δ^{3}}{δ J (x)^{3}}

n'est pas correctement défini car

\frac{δ^{3}}{δ J (x_{1}) δ J (x_{2}) δ J (x_{3})} Z [J]

est une distribution en :x₁, x₂ and x₃, cette equation doit être regularisée.

Dans cet exemple, le propagateur nu D est la fonction de Green pour $- \partial^{μ} \partial_{μ} - m^{2}$ et donc, le set d'équation de Schwinger–Dyson donne

\begin{matrix} ⟨ ψ ∣ 𝒯 {φ (x_{0}) φ (x_{1})} ∣ ψ ⟩ \\ = & i D (x_{0}, x_{1}) + \frac{λ}{3!} \int d^{d} x_{2} D (x_{0}, x_{2}) ⟨ ψ ∣ 𝒯 {φ (x_{1}) φ (x_{2}) φ (x_{2}) φ (x_{2})} ∣ ψ ⟩ \end{matrix}

et

\begin{matrix} ⟨ ψ ∣ 𝒯 {φ (x_{0}) φ (x_{1}) φ (x_{2}) φ (x_{3})} ∣ ψ ⟩ \\ = & i D (x_{0}, x_{1}) ⟨ ψ ∣ 𝒯 {φ (x_{2}) φ (x_{3})} ∣ ψ ⟩ + i D (x_{0}, x_{2}) ⟨ ψ ∣ 𝒯 {φ (x_{1}) φ (x_{3})} ∣ ψ ⟩ \\ + i D (x_{0}, x_{3}) ⟨ ψ ∣ 𝒯 {φ (x_{1}) φ (x_{2})} ∣ ψ ⟩ \\ + \frac{λ}{3!} \int d^{d} x_{4} D (x_{0}, x_{4}) ⟨ ψ ∣ 𝒯 {φ (x_{1}) φ (x_{2}) φ (x_{3}) φ (x_{4}) φ (x_{4}) φ (x_{4})} ∣ ψ ⟩ \end{matrix}

etc.

(A moins qu'il n'y ait Brisure spontanée de symétrie, les fonctions de correlations impaires sont nulles.)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schwinger–Dyson equation » (voir la liste des auteurs).

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Dérivation

Un exemple: φ4

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