Pentachore

En géométrie euclidienne de dimension quatre, le pentachore, ou 5-cellules, aussi appelé un pentatope ou 4-simplexe, est le polychore régulier convexe le plus simple. C'est la généralisation d'un triangle du plan ou d'un tétraèdre de l'espace.

Pentachore (5-cellules)
Diagramme de Schlegel (sommets et arêtes)
Type	Polychore régulier convexe
Cellules	5 {3,3}
Faces	10 {3}
Arêtes	10
Sommets	5
Symbole de Schläfli	{3,3,3}
Polygone de Pétrie	Pentagone
Groupe(s) de Coxeter	A4, [3,3,3]
Diagramme de Coxeter-Dynkin
Dual	Lui-même
Propriétés	Convexe, isogonal, isotoxal, isoédral

Figure de sommet : tétraèdre.

Une projection 3D d'un 5-cellules exécutant une double rotation sur deux plans orthogonaux.

Quatre projections orthographiques.

Patron du pentachore

Géométrie

Le pentachore est constitué de cinq cellules, toutes des tétraèdres. C'est un polytope auto-dual. Sa figure de sommet est un tétraèdre. Son intersection maximale avec l'espace tridimensionnel est le prisme triangulaire.

Le symbole de Schläfli du pentachore est {3,3,3}.

Le pentachore régulier est la base d'une famille de neuf polychores uniformes, dont les autres membres, non réguliers, sont :

• le pentachore rectifié (en), un des trois polychores semi-réguliers,
• le pentachore tronqué (en),
• le pentachore bitronqué (en),
• le pentachore biseauté (en),
• le pentachore biseauté-tronqué (en),
• le pentachore augmenté (en),
• le pentachore augmenté-tronqué (en),
• le pentachore omnitronqué (en).

Construction

Le pentachore peut être construit à partir d'un tétraèdre en ajoutant un 5^e sommet tel qu'il soit simultanément équidistant avec les quatre sommets du tétraèdre. Essentiellement, le pentachore est une pyramide quadridimensionnelle avec une base tétraédrique.

Projections

Une des projections possibles du pentachore en 2 dimensions est le pentagramme inscrit dans un pentagone.

Les deux projections parallèles sommet en premier et cellule en premier du pentachore en 3 dimensions ont une enveloppe de projection tétraédrique. Le sommet le plus étroit ou le plus éloigné du pentachore est projeté vers le centre du tétraèdre. La cellule la plus éloignée/la plus étroite est projetée sur l'enveloppe tétraédrique elle-même, tandis que les quatre autres cellules sont projetées sur les quatre régions tétraédriques aplaties entourant le centre.

Les projections arête en premier et face en premier du pentachore dans trois dimensions ont une enveloppe en forme de diamant triangulaire. Deux des cellules sont projetées sur les moitiés supérieures et inférieures du diamant, tandis que les trois restantes sont projetées vers les trois volumes tétraédriques non-réguliers arrangés autour de l'axe central du diamant à 120 degrés l'un de l'autre.

Noms alternatifs

• Hypertétraèdre (de dimension 4)
• 5-cellules ou $C_{5}$
• 4-simplexe
• Pentatope
• Pentaèdroïde (Henry Parker Manning)
• Pen (Jonathan Bowers : pour pentachore)

Bibliographie

(en) H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, New York, Dover Publications, 1973, 3^e éd. (1^re éd. 1948) (ISBN 0-486-61480-8)