Algèbre géométrique conforme

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L’algèbre géométrique conforme est un modèle mathématique de l'espace, établissant une correspondance injective^[1] entre l'espace euclidien de dimension $n$ et une algèbre géométrique de dimension $n+2$ , telle que l'image de tout point est un vecteur nul et telle qu'il existe un vecteur nul avec lequel l'image de tout point donne un produit intérieur égal à un.

{\begin{array}{c}F(\mathbf {x} )^{2}=0\\F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1\\\infty ^{2}=0\end{array}}

Définitions

Plan de Minkowski

L'algèbre géométrique conforme ajoute à l'espace euclidien deux dimensions dotées d'une métrique pseudo-euclidienne $(-,+)$ . Cet espace est appelé plan de Minkowskii.

Deux vecteurs nuls de cet espace sont choisis. Ils sont notés $(o,\infty )$ et appelés respectivement origine et horizon. Ils sont choisis afin de satisfaire les relations suivantes^[2]:

{\begin{array}{c}o^{2}=\infty ^{2}=0\\o\cdot \infty =\infty \cdot o=1\end{array}}

Il peut être montré que $(o,\infty )$ forment une base du plan de Minkowski. Cette base est appelée base nulle.

Le produit extérieur de l'horizon et de l'origine forme le pseudo-scalaire du plan de Minkowski. Il est noté avec un E majuscule.

\infty \wedge o=E

La convention $E=o\wedge \infty$ existe aussi mais ne sera pas utilisée dans cet article.

Découpage conforme

L'algèbre géométrique conforme découpe^[3] une algèbre géométrique de dimension vectorielle $n+2$ en deux sous espaces : le plan de Minkowski et un espace de dimension $n$ visant à représenter un espace euclidien.

Il existe au moins deux méthodes de découpe.

Découpage additif

Le découpage additif utilise une somme directe:

\mathbb {R} ^{n+1,1}=\mathbb {R} ^{n}\oplus \mathbb {R} ^{1,1}

Un vecteur $x$ de $\mathbb {R} ^{n+1,1}$ s'écrit donc:

x=F(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty

Les coefficients $\alpha ,\beta$ sont les coordonnées de $x$ dans le plan de Minkowski. Ils dépendent de $\mathbf {x}$ de manière que $F(\mathbf {x} )$ satisfasse les relations définissant le modèle conforme.

Découpage multiplicatif

Le découpage multiplicatif consiste en un produit direct:

{\mathcal {G}}_{n+1,1}={\mathcal {G}}_{n}\otimes {\mathcal {G}}_{1,1}

Ici ${\mathcal {G}}_{n}$ est en fait l'espace des trivecteurs ayant pour facteur commun le bivecteur E.

\rho \mathbf {x} =x\wedge E

Le facteur de linéarité $\rho$ est à déterminer en tenant compte des conditions du modèle conforme.

Propriétés

Plan de Minkowski

Carré du pseudo-scalaire

Le carré du pseudo-scalaire du plan de Minkowski est égal à un.

E^{2}=1

Démonstration

${\begin{aligned}E^{2}=&(\infty \wedge o)(\infty \wedge o)\\=&-(o\wedge \infty )(\infty \wedge o)\\=&-(o\infty -o\cdot \infty )(\infty o-\infty \cdot o)\\=&-(o\infty -1)(\infty o-1)\\=&(1-o\infty )(\infty o-1)\\=&\infty o-1-o\infty \infty o+o\infty \\=&\infty o+o\infty -1\\=&2\infty \cdot o-1\\=&2-1\\=&1\end{aligned}}$

∎

Absorption par la base nulle

Dans le plan de Minkowski, la multiplication par E agit sur l'origine et l'horizon en changeant ou non leur signe selon le sens de la multiplication.

{\begin{array}{c}E\infty =-\infty E=\infty \\oE=-Eo=o\end{array}}

Démonstration

${\begin{aligned}E\infty =&(\infty \wedge o)\infty \\=&-(o\wedge \infty )\infty \\=&-(o\infty -o\cdot \infty )\infty \\=&(o\cdot \infty -o\infty )\infty \\=&(1-o\infty )\infty \\=&\infty -o\infty ^{2}\\=&\infty \end{aligned}}$

Les autres relations se démontrent de manière similaire.

Expression de F

Découpage additif

Avec le découpage additif, l'expression explicite de F s'écrit^[4]:

F(\mathbf {x} )=o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty

Démonstration

Comme vu précédemment: $F(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty$

On cherche à déterminer $\alpha$ et $\beta$ afin de satisfaire $F(\mathbf {x} )^{2}=0$ et $F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1$ .

On a:

{\begin{aligned}F(\mathbf {x} )^{2}=&(\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty )(\mathbf {x} +\alpha o+\beta \infty )\\=&\mathbf {x} ^{2}+\alpha \beta o\infty +\alpha \beta \infty o\\=&\mathbf {x} ^{2}+2\alpha \beta o\cdot \infty \\=&\mathbf {x} ^{2}+2\alpha \beta \end{aligned}}

Donc $F(\mathbf {x} )^{2}=0$ implique $\alpha \beta =-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}$

La condition $F(\mathbf {x} )\cdot \infty =1$ implique quant à elle immédiatement $\alpha =1$

Donc $\beta =-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}$

∎

Découpage multiplicatif

Pour le découpage multiplicatif, F s'écrit:

F(\mathbf {x} )=(o+\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )E=o+\mathbf {x} E-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty

Démonstration

On a tout d'abord:

F(\mathbf {x} )=x=xE^{2}=(x\wedge E+x\cdot E)E

D'où

x^{2}=xx^{\dagger }=(x\wedge E+x\cdot E)EE(E\wedge x+x\cdot E)=-(x\wedge E+x\cdot E)(x\wedge E-x\cdot E)=(x\cdot E)^{2}-(x\wedge E)^{2}

Comme par ailleurs $x^{2}=0$ , il vient:

(x\cdot E)^{2}=(x\wedge E)^{2}=\mathbf {x} ^{2}

Or

(x\cdot E)^{2}=(x\cdot (\infty \wedge o))^{2}=(x\cdot \infty \,o-\infty \,x\cdot o)^{2}=(o-\infty \,x\cdot o)^{2}=-x\cdot o(o\infty +\infty o)=-2x\cdot o

Donc

x\cdot o=-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}

Et donc

x\cdot E=o-\infty \,x\cdot o=o+{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty

ce qui donne

xE=x\wedge E+x\cdot E=\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty +o

et enfin, en multipliant par E:

x=(\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty +o)E

Produit intérieur et norme euclidienne

Le carré de la distance euclidienne est l'opposé du double du produit intérieur.

\|\mathbf {y} -\mathbf {x} \|^{2}=-2F(\mathbf {x} )\cdot F(\mathbf {y} )

Démonstration

Pour le découpage additif:

{\begin{aligned}2F(\mathbf {x} )\cdot F(\mathbf {y} )=&(o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )(o+\mathbf {y} -{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}\infty )+(o+\mathbf {y} -{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}\infty )(o+\mathbf {x} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty )\\=&-{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}+\mathbf {xy} -{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}-{\frac {1}{2}}\mathbf {y} ^{2}+\mathbf {yx} \\=&-(\mathbf {x} ^{2}-\mathbf {xy} -\mathbf {yx} +\mathbf {y} ^{2})\\=&-(\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{2}\\=&-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2}\end{aligned}}

Pour le découpage multiplicatif:

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Voir aussi

Liens externes

(en) Old Wine in New Bottles: A new algebraic framework for computational geometry[PDF], David Hestenes

Notes et références

↑ Il est choisi ici de stipuler le caractère injectif de la correspondance pour éviter d'inclure le cas trivial $F(\mathbf {x} )=o$ .
↑ Il existe plusieurs manières de définir l'origine et l'horizon, ainsi que différentes notations. Certains ouvrages utilisent notamment une convention différente pour la valeur du produit scalaire : $o\cdot \infty =-1$ . Ces différentes conventions ne changent pas fondamentalement les propriétés algébriques de l'algèbre géométrique conforme, et peuvent être assimilées à des divergences dans le choix des unités.
↑ Ici le mot découpage et ses substantifs ont été choisis pour traduire le terme anglais split dans l'expression de Hestenes conformal split
↑ Certaines sources utilisent la formule $F(\mathbf {x} )=o+\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty$ . La différence de signe semble être liée au choix différent pour le signe du produit scalaire entre l'origine et l'horizon.

[1] Il est choisi ici de stipuler le caractère injectif de la correspondance pour éviter d'inclure le cas trivial $F(\mathbf {x} )=o$ .

[2] Il existe plusieurs manières de définir l'origine et l'horizon, ainsi que différentes notations. Certains ouvrages utilisent notamment une convention différente pour la valeur du produit scalaire : $o\cdot \infty =-1$ . Ces différentes conventions ne changent pas fondamentalement les propriétés algébriques de l'algèbre géométrique conforme, et peuvent être assimilées à des divergences dans le choix des unités.

[3] Ici le mot découpage et ses substantifs ont été choisis pour traduire le terme anglais split dans l'expression de Hestenes conformal split

[4] Certaines sources utilisent la formule $F(\mathbf {x} )=o+\mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{2}\infty$ . La différence de signe semble être liée au choix différent pour le signe du produit scalaire entre l'origine et l'horizon.

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