Application transposée

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, l'application transposée d'une application linéaire u : E → F entre deux espaces vectoriels est l'application ^tu : F* → E* entre leurs duals définie par :

$\forall \ell \in F^{*},\qquad ^{\operatorname {t} }\!u(\ell )=\ell \circ u$

ou encore, si $\langle \;,\ \rangle$ est le crochet de dualité de E :

$\forall x\in E,\forall \ell \in F^{*},\qquad \langle ^{\operatorname {t} }\!u(\ell ),x\rangle =\langle \ell ,u(x)\rangle .$

La forme linéaire résultante $^{\operatorname {t} }\!u(\ell )\in E^{*}$ est nommée application transposée de $\ell$ le long de $u$.

Cette définition se généralise à des K-modules à droite sur un anneau (non nécessairement commutatif), en se souvenant que le dual d'un K-module à droite est un K-module à gauche, ou encore un module à droite sur l'anneau opposé K^op.

Propriétés

• L'application ^tu ainsi associée à u est, comme elle, linéaire.
• L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. C'est elle-même une application linéaire, de L(E, F) dans L(F*, E*).
• ker(^tu) = (im u)^⊥ (donc ^tu est injective si et seulement si u est surjective) et im(^tu) = (ker u)^⊥ (donc ^tu est surjective si et seulement si u est injective).
• L'application de transposition est compatible avec la composition : si u est linéaire de E dans F et v linéaire de F dans G,$^{\operatorname {t} }\!(v\circ u)={}^{\operatorname {t} }\!u\circ ^{\operatorname {t} }\!v.$(Notamment si u est un isomorphisme, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.)
• Pour toutes parties A de E et B de F, on a [u(A)]^⊥ = (^tu)⁻¹(A^⊥), et u(A) ⊂ B ⇒ ^tu(B^⊥) ⊂ A^⊥.
• Si E et F sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif, de bases respectives B et C, alors la matrice de la transposée de u, dans les bases duales C* et B*, est la transposée de la matrice de u dans les bases B et C :$\operatorname {mat} _{C^{*},B^{*}}(^{\operatorname {t} }\!u)={}^{\operatorname {t} }\!\operatorname {mat} _{B,C}(u).$En effet, si B = (e₁, …, e_n) et C = (f₁, …, f_m), l'élément d'indices i,k de la matrice mat_C*,B*(^tu) est 〈^tu(f_k*), e_i〉 et l'élément d'indices k,i de la matrice mat_B,C(u) est 〈f_k*, u(e_i)〉.
• Compte tenu du fait que la matrice d'une composée est le produit des matrices, on retrouve, à partir des deux points précédents, la formule ^t(AB) = ^tB.^tA.

Application transposée en général

La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si l'on dispose d'une application $f$ entre deux ensembles :

$f:X\rightarrow Y$.

On en déduit pour tout ensemble $Z$ une application $f^{*}$ :

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{Ensemble}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Ensemble}(X,Z)$

définie par $f^{*}(g)=g\circ f$ où $\mathrm {Hom} _{Ensemble}(A,B)$ désigne l'ensemble $B^{A}$ des applications de $A$ dans $B$.

Si $X$, $Y$ et $Z$ sont des groupes, on peut utiliser exactement la même définition pour construire

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{Groupe}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Groupe}(X,Z)$

où cette fois $\mathrm {Hom} _{Groupe}(A,B)$ désigne l'ensemble des morphismes de groupes de $A$ dans $B$.

On pourrait de même définir la transposée d'un morphisme d'anneaux, d'espaces topologiques, d'espaces vectoriels topologiques, etc.

Cette construction entre donc dans le cadre général de la théorie des catégories.

Si ${\mathfrak {C}}$ est une catégorie $X$, $Y$ sont des objets de ${\mathfrak {C}}$ et $f$ est un élément de $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Y)$. Alors pour tout objet $Z$ de ${\mathfrak {C}}$, il existe une application $f^{*}$ appelée transposée de $f$ :

$f^{*}:\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Z)$.

C'est l'image $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(f,Z)$ de $f$ par le foncteur Hom contravariant $\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(\cdot ,Z)$ de ${\mathfrak {C}}$ dans la catégorie $\mathrm {Ens}$ des ensembles.

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