Foncteur Hom

En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, le foncteur Hom est un foncteur associé aux morphismes de la catégorie des ensembles. Il est central en théorie des catégories, notamment du fait de son rôle dans le lemme de Yoneda et parce qu'il permet de définir le foncteur Ext.

Définition

Soit ${\mathcal {C}}$ une catégorie localement petite. Pour tout couple d'objets $A$ et $B$ dans cette catégorie, on note $\mathrm {Hom} (A,B)$ l'ensemble des morphismes $f:A\to B$ présents dans ${\mathcal {C}}$. On définit ici les foncteurs Hom. Le lemme de Yoneda caractérise la forme des transformations naturelles entre foncteurs Hom.

Foncteur Hom covariant

Fixons un objet $X$ de ${\mathcal {C}}$. Le foncteur Hom covariant $\mathrm {Hom} (X,-):{\mathcal {C}}\to {\mathsf {Set}}$ (correspondant aux foncteurs représentables) est défini comme suit. Celui-ci associe à tout objet $A$ de ${\mathcal {C}}$ l'ensemble $\mathrm {Hom} (X,A)$. De plus, celui-ci associe à tout morphisme $f:A\to B$ la fonction $f\circ -:\mathrm {Hom} (X,A)\to \mathrm {Hom} (X,B)$, qui prend un morphisme $g:X\rightarrow A$ et produit le morphisme $f\circ g:X\rightarrow B$. D'où la notation $f\circ -$ avec le tiret $-$ comme emplacement.

Foncteur Hom contravariant

Il s'agit de la même définition mais la catégorie opposée. Il s'agit du foncteur Hom contravariant $\mathrm {Hom} (-,X):{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}$.

Bifoncteur Hom covariant

On définit le bifoncteur Hom covariant $\mathrm {Hom} (-,-):{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathsf {Set}}.$

Certaines catégories possèdent un bi-foncteur similaire à Hom, mais ayant la catégorie elle-même pour codomaine :

$[-,-]:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}.$

On parle dans ce cas de foncteur Hom interne et on dit qu'il s'agit d'une catégorie fermée. Le foncteur d'oubli permet de retrouver le foncteur Hom « externe » à partir du foncteur Hom interne, ce qui correspond à l'opération de curryfication sur une catégorie monoïdale fermée (en).

Exemple

La catégorie des groupes, Grp, est localement petite, autrement dit : pour tous groupes G et L, Hom(G,L) est un ensemble, l'ensemble des morphismes de groupes de G dans L. On va illustrer un foncteur "des groupes dans les ensembles". Soit G un groupe fixé. Le foncteur Hom covariant Hom(G,-) est un foncteur de ce type ; il associe à tout groupe L l'ensemble Hom(G,L) et à tout morphisme $\alpha :L\rightarrow L'$ l'application $\varphi \rightarrow \alpha \circ \varphi$ de Hom(G,L) dans Hom(G,L').

Référence

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]