Arc sinus
En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre et .
Notation | |
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Réciproque |
sur |
Dérivée | |
Primitives |
Ensemble de définition |
[−1, 1] |
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Ensemble image | |
Parité |
impaire |
La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée ([1] ou en notation française, et , parfois ou , en notation anglo-saxonne).
Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle . Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques.
On a donc par définition :
.
Courbe représentative
modifierDans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle par la réflexion d'axe la droite d'équation .
Relations avec les fonctions circulaires directes
modifier- pour ;
- pour ;
- pour .
Par contre, seulement pour .
La formule générale est où est la partie entière de .
Dérivée
modifierComme dérivée d'une bijection réciproque, est dérivable sur et vérifie : . Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation : .
Développement en série entière
modifierSi ,
(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)
Forme intégrale indéfinie
modifierCette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :
.
Primitives
modifierLes primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :
.
Relation entre arc sinus et arc cosinus
modifierPour tout réel entre −1 et 1 :.
Extension aux complexes
modifierDe la relation valable pour tout complexe : , on déduit
- .
D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :, valable pour .
Le développement en série est alors valable pour tout dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.
Références
modifier- Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles : Filière : scientifique (MPSI), 35 p. (lire en ligne [PDF]), « Techniques fondamentales de calcul en analyse », p. 10
Voir aussi
modifier- Sinus hyperbolique réciproque
- Intégrale de Wallis (pour le développement de )
- (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Sine », sur MathWorld
- (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 4.4, p. 79-83
- Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :