Carré magique d'inverses de nombres premiers

Un carré magique d'inverses de nombres premiers est un carré magique qui peut être obtenu en écrivant sur lignes successives le développement décimal des divisions de , ... . Le plus petit nombre à avoir cette propriété est le 19.

Explication

modifier

En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333… Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,142857142857142857… De façon fortuite, les multiples de 1/7 sont des permutations cycliques de ces six chiffres :

1/7 = 0, 1 4 2 8 5 7…
2/7 = 0, 2 8 5 7 1 4…
3/7 = 0, 4 2 8 5 7 1…
4/7 = 0, 5 7 1 4 2 8…
5/7 = 0, 7 1 4 2 8 5…
6/7 = 0, 8 5 7 1 4 2…

Si ces chiffres sont disposés dans un carré, chaque ligne et chaque colonne donneront la même somme, en l'occurrence 1+4+2+8+5+7=27. Les diagonales ne donnant cependant pas 27, il ne s'agit pas d'un carré magique.

1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2

Tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique, mais seuls quelques uns constituent des carrés magiques.

Carré magique d'inverses de 19

modifier

Dans le carré produit à partir de 1/19, avec la période maximale de 18 et les sommes lignes-colonnes égales à 81, les deux diagonales ont aussi pour somme 81, et ce carré est par conséquent pleinement magique :

01/19 = 0, 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1
02/19 = 0, 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2…
03/19 = 0, 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3…
04/19 = 0, 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4…
05/19 = 0, 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5…
06/19 = 0, 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6…
07/19 = 0, 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7…
08/19 = 0, 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8…
09/19 = 0, 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9…
10/19 = 0, 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0…
11/19 = 0, 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1…
12/19 = 0, 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2…
13/19 = 0, 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3…
14/19 = 0, 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4…
15/19 = 0, 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5…
16/19 = 0, 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6…
17/19 = 0, 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7…
18/19 = 0, 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8

Liste des premiers nombres donnant un carré magique d'inverses

modifier

Les carrés magiques d'inverses peuvent être obtenus en base 10 ou dans d'autres bases. La table suivante liste certains d'entre eux, donnant le nombre premier, la base, et le total magique (dérivé à partir de la formule : base-1 x nombre premier-1 / 2) :

Nombre premier Base Total
19 10 81
53 12 286
53 34 858
59 2 29
67 2 33
83 2 41
89 19 792
167 68 5 561
199 41 3 960
199 150 14 751
211 2 105
223 3 222
293 147 21 316
307 5 612
383 10 1 719
389 360 69 646
397 5 792
421 338 70 770
487 6 1 215
503 420 105 169
587 368 107 531
593 3 592
631 87 27 090
677 407 137 228
757 759 286 524
787 13 4 716
811 3 810
977 1 222 595 848
1 033 11 5 160
1 187 135 79 462
1 307 5 2 612
1 499 11 7 490
1 877 19 16 884
1 933 146 140 070
2 011 26 25 125
2 027 2 1 013
2 141 63 66 340
2 539 2 1 269
3 187 97 152 928
3 373 11 16 860
3 659 126 228 625
3 947 35 67 082
4 261 2 2 130
4 813 2 2 406
5 647 75 208 902
6 113 3 6 112
6 277 2 3 138
7 283 2 3 641
8 387 2 4 193

Voir aussi

modifier

Lien externe

modifier

G. Villemin, « Carrés magiques avec les décimales de l'inverse des nombres premiers »

Crédit d'auteurs

modifier
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime reciprocal magic square » (voir la liste des auteurs).