Développement décimal

Le développement décimal d'un nombre est une façon d'écrire un nombre réel en utilisant une suite ordonnée de chiffres de 0 à 9, suite finie ou non, éventuellement partitionnée par une virgule et, pour les nombres négatifs, précédée du signe " $-$ " . Tout nombre réel peut être représenté par une telle suite qui correspond à la décomposition de ce nombre en somme de puissances de dix, positives ou négatives, affectées des chiffres de cette suite : un développement décimal est donc une façon d'écrire un nombre en notation positionnelle de base dix.

Les nombres entiers non nuls, et plus généralement les nombres décimaux non nuls, ont plusieurs développements décimaux. On peut par exemple écrire le nombre deux comme $2$ ou $2, 000 \dots$ ou encore $1, 9999 \dots$ Et écrire le nombre -4/10 comme $- 0, 4$ ou $- 0, 4000 \dots$ ou encore $- 0, 3999 \dots$

Les nombres rationnels non décimaux ont un seul développement décimal, et celui ci est illimité et périodique. Ainsi, par exemple, le développement décimal de 13/7 est $1, 8571428571428 \dots$ , où la période " $857142$ " se répète à l'infini.

Les nombres irrationnels ont un seul développement décimal et celui-ci est illimité et non périodique. Ainsi, par exemple, le développement décimal du nombre π commence par $3, 141592653589793 \dots$

Cas des nombres entiers

Tout nombre entier naturel comme relatif peut être écrit sous une forme qui semble naturelle, puisqu'elle est enseignée dès l'enfance^[1]. Cet enseignement transmet l'idée que le nombre s'écrivant $3827$ se lit "trois mille huit cent vingt sept" et vaut $3 \times 1000 + 8 \times 100 + 2 \times 10 + 7$ . Ce n'est que plus tard que cette affirmation sera précisée : cette égalité est valable parce que la notation utilisée est la notation positionnelle de base dix.

De façon plus générale et plus formelle, tout entier naturel $n$ peut se décomposer en une somme finie de puissances (positives ou nulle) de $10$ affectées de coefficients entiers (positifs ou nuls) inférieurs ou égaux à $9$ et s'écrire en notation positionnelle de base dix comme suit :

$n = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} 1 0^{i} = a_{N} a_{N - 1} \dots a_{1} a_{0}$

Avec $N$ entier naturel, éventuellement nul, et $a_{i}$ entier naturel tel que $0 ⩽ a_{i} ⩽ 9$ .

En outre, si on ajoute la condition que le premier coefficient de cette écriture ( $a_{N}$ ) ne peut être nul sauf si $N = 0$ ^[2], cette décomposition et cette écriture sont uniques. Et la suite de chiffres $a_{N} a_{N - 1} \dots a_{1} a_{0}$ est appelée développement décimal fini de $n$ .

Attention : un nombre entier a aussi d'autres développements décimaux. Par exemple le nombre entier onze a un développement décimal fini qui s'écrit $11$ qui est l'écriture abrégée de son développement propre illimité qui s'écrit $11, 00000 \dots$ ^[3]. Et onze a en outre un développement impropre (illimité) qui s'écrit $10, 9999 \dots$ ^[4].

Extension aux entiers négatifs : les développements décimaux d'un entier relatif négatif $z$ sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de $z$ précédés du signe " $-$ ". Ainsi, par exemple : $- 11 = - 11, 0000 \dots = - 10, 9999 \dots$ ^[5].

Cas des nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre rationnel représentable par une fraction la forme $\frac{N}{1 0^{n}}$ où $N$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel^[1]. De façon équivalente, un nombre décimal est aussi un nombre rationnel représentable par une fraction $\frac{p}{q}$ où la décomposition en facteurs premiers de $q$ ne comprend que les entiers premiers $2$ et $5$ .

Tout nombre décimal possède un développement décimal fini^[6] comportant éventuellement des puissances de dix à exposant négatif et les exposants non nuls du développement de $\frac{N}{1 0^{n}}$ sont tous supérieurs ou égaux à $- n$ .

Réciproquement, tout nombre possédant un développement décimal fini est un nombre décimal car il suffit de le multiplier par une puissance de dix adéquate pour retomber sur un entier^[7].

Exemple :

\begin{matrix} \frac{1267}{625} & = \frac{1267 \times 16}{10000} = \frac{2 \times 1 0^{4} + 2 \times 1 0^{2} + 7 \times 1 0^{1} + 2 \times 1 0^{0}}{1 0^{4}} \\ = 2 \times 1 0^{0} + 2 \times 1 0^{- 2} + 7 \times 1 0^{- 3} + 2 \times 1 0^{- 4} \end{matrix}

Et : $2,0272 = 20272 \times 1 0^{- 4} = \frac{1267}{625}$ .

De façon plus formelle, un nombre $x$ est décimal si et seulement s'il a un développement décimal fini, c'est-à-dire qu'on peut le décomposer et l'écrire en base dix comme suit^[8] :

$x = \sum_{i = 0}^{N} a_{i} 1 0^{i} + \sum_{j = 1}^{M} c_{j} 1 0^{- j} = a_{N} a_{N - 1}$ … $a_{1} a_{0}, c_{1} c_{2}$ … $c_{M - 1} c_{M}$

Avec :

$N$ : entier naturel, éventuellement nul

$M$ : entier naturel non nul

$a_{i}$ : entier naturel tel que $0 ⩽ a_{i} ⩽ 9$

$c_{i}$ : entier naturel tel que $0 ⩽ c_{i} ⩽ 9$

On remarque que cette formulation donne aussi le développement décimal fini des entiers, qui sont des décimaux "sans chiffre derrière la virgule", ou, de façon équivalente, chez lesquels $M = 1$ et $c_{1} = 0$ .

Attention, un nombre décimal non nul a aussi un autre développement décimal illimité dénommé "développement impropre"^[6]. Ainsi, par exemple^[9]:

le nombre entier onze a un développement décimal fini qui s'écrit $11$ . Ce développement fini est l'écriture abrégée de son développement propre illimité qui s'écrit $11, 00000 \dots$ ^[3]. Onze a en outre un développement impropre (illimité) qui s'écrit $10, 9999 \dots$
le décimal 12/10 a un développement décimal fini qui s'écrit $1, 2$ ainsi qu'un développement propre illimité qui s'écrit $1, 20000$ ... et un développement impropre (illimité) qui s'écrit $1, 19999 \dots$

Extension aux décimaux négatifs : comme pour les entiers, les développements décimaux d'un nombre décimal négatif $z$ sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de $z$ précédés du signe " $-$ ". Ainsi, par exemple : $- \frac{12}{10} = - 1, 2 = - 1, 20000 \dots = - 1, 19999 \dots$ ^[5].

Cas des nombres rationnels

Article détaillé : Développement décimal périodique.

Caractérisation du développement décimal d'un nombre rationnel

Le développement décimal d'un nombre rationnel non nul peut être calculé pas à pas à partir de sa représentation en fraction irréductible $\frac{p}{q}$ en faisant la division euclidienne de $p$ par $q$ ^[10] :

si la décomposition en facteurs premiers de $q$ ne contient que des puissances de $2$ et de $5$ , alors le nombre est décimal, et cette méthode permet, en un nombre fini d'étapes, de trouver le développement décimal fini de ce rationnel ;
si la décomposition en facteurs premiers de $q$ contient des puissances de nombres premiers autres que $2$ et $5$ , alors le rationnel n'est pas décimal et ce processus (ou cet algorithme) n'a pas de fin. En effet le développement décimal d'un rationnel non décimal est illimité et périodique : après un certain rang derrière la virgule, il est composé de la répétition à l'infini d'une même séquence de chiffres non tous nuls, appelée période^[11].

Ainsi, par exemple :

$\frac{2}{3} = 0, \underline{6} 66666 \dots$ : la période " $6$ " se répète à l'infini

$\frac{13}{7} = 1, \underline{857142} 8571428 \dots$ : la période " $857142$ " se répète à l'infini

La période n'apparait pas toujours immédiatement après la virgule mais, dans certains cas, seulement à partir d'un certain rang. Par exemple : $\frac{83}{70} = 1,1 \underline{857142} 85 \dots$

Et tout nombre décimal possède un développement décimal illimité de période $0$ , comme $\frac{12}{10} = 1, 2 \underline{0} 0000 \dots$

En posant la division de $13$ par $7$ , on peut comprendre pourquoi la période $857142$ apparait et se répète indéfiniment : la première étape de la division donne comme reste $6$ , et les étapes suivantes les quotients $8, 5, 7, 1, 4, 2$ et les restes $4, 5, 1, 3, 2, 6$ . Puisque l'on obtient le reste $6$ , en abaissant le $0$ , on se trouve de nouveau à diviser $60$ par $7$ (comme à la deuxième étape), donc obtenir de nouveau le quotient $8$ et le reste $4$ , etc.

Cette constatation peut être généralisée et démontrée^[12], ainsi que sa réciproque, pour aboutir au théorème suivant : un nombre non nul est rationnel si et seulement si il a un développement périodique^[8].

Il est assez facile de convertir un développement décimal périodique en fraction :

Exemple :

x = 3, 25723723723 \dots

100 x = 325, 723723723 \dots

100 x - 325 = y = 0, 723723723 \dots

On remarque que si

y

est rationnel

x

l'est aussi.

y = 0, 723723723 \dots

^[13]

1000 y = 723, 723723723 \dots

Donc :

1000 y = 723 + y

et

999 y = 723

D'où

y = \frac{723}{999}

:

y

est donc rationnel et

x

aussi.

La méthode se généralise pour tout développement décimal illimité périodique. On se débarrasse de la mantisse par une multiplication par la puissance de dix adéquate et par la soustraction d'un nombre entier. On obtient alors un nombre y s'écrivant "0,périodepériodepériode..." sur lequel on effectue le même type d'opération que plus haut : multiplication par la puissance de 10 adéquate pour obtenir 10ⁿy = période + y. Et la résolution de l'équation prouve que y est rationnel et donc x également.

Longueur de la mantisse et de la période

Il est possible de déterminer rigoureusement la longueur de la mantisse $M$ et celle de la période $C$ du développement décimal de tout nombre rationnel grâce à l'approche suivante^[14] :

On note que tout nombre rationnel non entier $R = P / Q$ peut se décomposer en : $R = E (R) + r$ où $E (R)$ est la partie entière de $R$ , et $r$ sa partie décimale ( $0 < r < 1$ ). Comme $R$ et $E (R)$ sont rationnels, $r$ l'est aussi. Donc $r = p / q$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux et $0 < p < q$ . On définit ensuite les entiers $k, l$ et $s$ tels que $q = 2^{k} \times 5^{l} \times s$ avec $s$ impair non divisible par $5$ , puis on définit $m$ comme $m = m a x (k, l)$ . On démontre que $r$ a comme développement décimal $r = 0, \underset{M}{\underset{⏟}{a_{1} a_{2} \dots a_{m}}} \underset{C}{\underset{⏟}{c_{1} c_{2} \dots c_{v}}} \underset{C}{\underset{⏟}{c_{1} c_{2} \dots c_{v}}} c_{1} c_{2} \dots$ , donc que celui de $R$ est $E (R), \underset{M}{\underset{⏟}{a_{1} a_{2} \dots a_{m}}} \underset{C}{\underset{⏟}{c_{1} c_{2} \dots c_{v}}} \underset{C}{\underset{⏟}{c_{1} c_{2} \dots c_{v}}} c_{1} c_{2} \dots$ , avec les caractéristiques suivantes:

Si $s = 1$ : tous les $c_{i}$ sont nuls et $r$ ainsi que $R$ sont décimaux ;
Si $s > 1$ : le développement décimal de $r$ comme celui de $R$ sont périodiques à partir de la $m + 1$ ème décimale, et la période est de longueur $v$ où $v$ est le plus petit entier $n$ non nul tel que le reste de la division $1 0^{n}$ par $s$ soit égal à $1$ ;
La longueur de la mantisse est $m$ et celle de la période est $v$ .

Exemples d'application :

Sans calculer le développement décimal de $141 / 148$ , on sait que sa mantisse a deux chiffres (car $148 = 2^{2} \times 5^{0} \times 37$ ) et que sa période en a trois (car $1 0^{3} = 27 \times 37 + 1$ ). Et, en posant la division de $141$ par $148$ , on trouve : $141 / 148 = 0, 95270270 \dots$ qui a bien les caractéristiques attendues ;

Un rationnel a un développement décimal sans mantisse si et seulement si il peut s'écrire comme une fraction irréductible $p / q$ avec q impair et non divisible par $5$ : en effet si $q$ est pair ou multiple de $5$ , la mantisse aura une longueur non nulle. Ainsi, on peut affirmer sans calcul que le développement décimal de $12 / 7$ n'a pas de mantisse. Et en le calculant, on trouve en effet : $1, 714285714 \dots$ . Réciproquement, en considérant le nombre $3, 144144 \dots$ on peut affirmer, sans calcul, qu'il est rationnel et peut s'écrire sous une forme irréductible du type $p / q$ avec $q$ impair non divisible par $5$ . Et en utilisant la méthode énoncée plus haut, on trouve en effet que $3, 144144 \dots = 1047 / 333$ .

Extension aux rationnels négatifs

Comme pour les décimaux, les développements d'un nombre rationnel négatif $z$ sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de $z$ précédés du signe " $-$ ". Ainsi, par exemple : $- \frac{2}{3} = - 0, 6666 \dots$ ^[5].

Cas particulier de 0,99999999....

Article détaillé : Développement décimal de l'unité.

En prenant $x = 0, 99999999 \dots$ on obtient^[13]: $10 x = 9, 99999999 \dots = 9 + x$ . Donc $x = 1$ et $1 = 0, 99999999 \dots$ et " $0, 99999999 \dots$ " est le développement décimal impropre de l'entier "un".

Cas des nombres réels

On peut démontrer que tout nombre réel peut être représenté par un développement décimal, et que certains d'entre eux en ont plusieurs. Cette démonstration utilise le théorème des suites adjacentes dans l'ensemble $ℝ$ des nombres réels.

Si $x$ est un nombre réel, on construit les suites de nombres décimaux suivantes^[1] :

u_{n} = \frac{E (1 0^{n} \times x)}{1 0^{n}}

et

v_{n} = \frac{E (1 0^{n} \times x) + 1}{1 0^{n}}

où

E (a)

désigne la partie entière de

a

.

$u_{n}$ s'appelle l'approximation décimale de $x$ par défaut à $1 0^{- n}$ et $v_{n}$ celle par excès.

On démontre que $u_{n}$ et $u_{n + 1}$ ne diffèrent (éventuellement) que sur la $(n + 1)$ ème décimale qui est de $0$ pour $u_{n}$ et de $a_{n + 1}$ pour $u_{n + 1}$ .

$u_{n}$ s'écrit alors

u_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} 1 0^{- k}

où $a_{0}$ est un entier (éventuellement nul) et où tous les $a_{k}$ pour $k = 1$ à $n$ sont des entiers compris dans { $0, \dots, 9$ }.

On démontre aussi que ( $u_{n}$ ) et ( $v_{n}$ ) sont des suites adjacentes encadrant $x$ , donc elles convergent vers $x$ . On appelle alors développement décimal illimité la suite ( $a_{n}$ ) et on a^[8] :

x = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k} 1 0^{- k}

.

Réciproquement, si ( $a_{n}$ ) est une suite d'entiers tels que tous les $a_{k}$ pour $k = 1$ à $n$ sont des entiers compris dans { $0, \dots, 9$ }, on démontre que la série $U_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} 1 0^{- k}$ est convergente dans $ℝ$ vers un réel $x = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_{k} 1 0^{- k}$ . Il faut alors distinguer deux cas :

Si la suite ( $a_{n}$ ) converge vers $9$ (tous ses termes sont égaux à $9$ à partir d'un certain rang $k$ ), alors $x$ est un décimal d'ordre $k - 1$ ^[15]. La suite ( $u_{n}$ ) définie dans la première partie ne coïncide pas avec la suite ( $U_{n}$ ). La suite ( $a_{n}$ ) sera appelée développement impropre.
Si la suite ne converge pas vers $9$ , la suite ( $u_{n}$ ) définie dans la première partie coïncidera à la suite ( $U_{n}$ ) . La suite ( $a_{n}$ ) sera appelée développement propre.

Cette construction d'un développement illimité permet de retrouver le développement propre d'un décimal $3, 5670000 \dots$ , ou d'un rationnel $3, 25743743743 \dots$ tels que définis dans les chapitres précédents.

Cas des réels négatifs : en cohérence avec la convention prise pour les nombres rationnels, les développements décimaux de tout nombre réel négatif $z$ sont définis et s'écrivent comme ceux de la valeur absolue de $z$ précédés du signe " $-$ ". Ainsi, par exemple : $- π = - 3, 141592 \dots$ ^[5].

On démontre que cette définition construit une bijection entre les réels et les suites ( $a_{n}$ ) d'entiers telles que $a_{0}$ est un entier relatif, tous les $a_{k}$ pour $k = 1$ à $n$ sont dans { $0, \dots, 9$ } et la suite ne stationne pas à $9$ ^[16]^,^[17].

Particularités du développement décimal : études et curiosités

Sauf pour les décimaux et les rationnels, il n'est en général pas possible de « prévoir » les décimales du développement d'un réel : seuls des calculs poussés permettent, par exemple, de découvrir les premières décimales de $π$ ^[18].

Des études portant sur la prévisibilité ou la fréquence des entiers dans les développements décimaux de nombres irrationnels comme $\sqrt{2}$ ou $π$ sont menées depuis plusieurs décennies^[19]. Elles ont notamment conduit à la définition, par le mathématicien français Émile Borel, de certaines catégories de nombres : ainsi, lorsque la fréquence d'apparition de chaque chiffre est de 10 % dans leur développement décimal, et, plus généralement, lorsque la fréquence d'apparition d'une suite de $n$ chiffres donnée est (pour chaque suite) de 10^-n, on dit que le réel est un nombre normal. Les études relatives aux nombres transcendants ont également conduit à la construction de nombres dont le développement décimal a des caractéristiques curieuses, dont certains exemples sont donnés ci-dessous :

le réel dont le développement décimal est $0, 1234567891011121314151617 \dots$ (soit la suite croissante des entiers naturels écrits en base dix) possède un développement décimal prévisible non périodique. Ce réel est la constante de Champernowne, du nom du mathématicien anglais qui l'a inventé en 1933. Ce nombre est évidemment irrationnel, mais aussi transcendant (prouvé par Kurt Mahler en 1961), et normal en base dix ;
la constante de Copeland-Erdős $0, 2357111317192329313741 \dots$ , constituée de la succession des nombres premiers écrits en base dix, est elle aussi normale en base dix ;
le réel dont le développement décimal est $0, 110001000000000000000001 \dots$ , c'est-à-dire la somme des puissances factorielles négatives de dix ( $1 0^{- 1} + 1 0^{- 2} + 1 0^{- 6} + \dots + 1 0^{- k!} + \dots$ ) possède un développement décimal prévisible non périodique. Ce réel est appelé la constante de Liouville parce qu'il figure parmi les premiers exemples explicites de nombres transcendants, fournis par Joseph Liouville.

D'autres résultats mathématiques, reliés au développement décimal des réels, ont été démontrés : ainsi, si on tire au hasard, uniformément, un nombre réel entre $0$ et $1$ , les chiffres de son développement décimal forment une suite de variables aléatoires indépendantes uniformes sur ⟦ $0, 9$ ⟧. Ce fait est la clé de la démonstration du théorème du nombre normal, dû à Émile Borel : à l'occasion de cette démonstration, Émile Borel a découvert le lemme de Borel-Cantelli, et a démontré la première version connue de la loi forte des grands nombres^[20].

Plusieurs autres théorèmes peuvent également être démontrés à partir de l'étude des développements décimaux, notamment les suivants :

l'ensemble des nombres décimaux $𝔻$ , celui des rationnels $ℚ$ et celui des irrationnels $ℝ$ \ $ℚ$ sont denses dans l'ensemble $ℝ$ des nombres réels^[21] ;
l'ensemble $ℝ$ n'est pas dénombrable^[22] ;
l'ensemble $ℚ$ n'est pas complet^[23] ;
toute partie non vide et majorée de $ℝ$ possède une borne supérieure^[24] ;
toute suite bornée de réels possède une sous-suite convergente (théorème de Bolzano-Weierstrass)^[24] ;
tout nombre de Liouville est transcendant^[25].

Développement en base quelconque

Le développement décimal fait jouer un rôle particulier au nombre dix car il utilise la notation positionnelle de base dix. Tout ce qui précède peut être généralisé à toute numération positionnelle de base entière $b$ supérieure à $1$ ^[8]. En notation en base $b$ , les nombres admettant deux développements sont ceux de la forme $\frac{a}{b^{k}}$ , les nombres rationnels restant caractérisés par la périodicité de leur développement.

En base 2, l'application $d : {0, 1}^{ℕ^{*}} \to [0, 1]$ qui associe à une suite $(ϵ_{n})_{n \geq 1}$ , où $ϵ_{n}$ vaut $0$ ou $1$ , le nombre $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{ϵ_{n}}{2^{n}}$ , est surjective (car tout nombre réel admet un développement en base $2$ ). Elle n'est pas bijective, puisque les rationnels dyadiques, c’est-à-dire ceux de la forme $\frac{a}{2^{k}}$ , admettent deux développements.

En base 3, l'application qui à la même suite $(ϵ_{n})_{n \geq 1}$ associe le nombre $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2 ϵ_{n}}{3^{n}}$ est injective. Elle n'est pas surjective : son image est l'ensemble de Cantor^[26].

On peut tirer de cette représentation des objets de prime abord paradoxaux, par exemple une surjection continue du segment $[0, 1]$ dans le carré $[0, 1] \times [0, 1]$ (voir Courbe remplissante)^{[réf. souhaitée]}.

Développement décimal en numération sans zéro

Il est possible de définir un système de numération de base dix en interdisant l'utilisation du chiffre valant zéro : cette numération est qualifiée de bijective ou 10-adique. On peut en particulier démontrer que tout nombre entier naturel $n$ non nul peut être décomposé de façon unique sous la forme : $n = \sum_{k = 0}^{N} c_{k} \times 1 0^{k} = c_{0} + c_{1} \times 10 + \dots + c_{N} \times 1 0^{N}$ , où les $c_{k}$ sont des entiers naturels tels que : $0 < c_{k} ⩽ 10$ . Donc tout entier non nul a un développement décimal fini en 10-adique^[27].

Par exemple : $192 5_{10} = 192 5_{10 - a d i q u e}$ et $202 5_{10} = 1 A 2 5_{10 - a d i q u e}$ , où $A$ est le chiffre représentant le nombre dix.

Chaque entier supérieur à 1 a même une infinité de développements finis 10-adique et un développement illimité. Par exemple : $2_{10} = 2_{10 - a d i q u e} = 1, A_{10 - a d i q u e} = 1, 9 A_{10 - a d i q u e} = 1, 99 A_{10 - a d i q u e} = \dots$ et $2_{10} = 2_{10 - a d i q u e} = 1, 9999 \dots_{10 - a d i q u e}$

Et bien d'autres réels ont un développement 10-adique, notamment tous ceux qui ont un développement décimal fini ou illimité ne comportant aucun $0$ ^[28].

Mais, contrairement à ce qui se passe en notation décimale classique, tous les réels n'ont pas un développement 10-adique : ainsi, par exemple 1/100 ou encore 1/1000 n'en ont pas.

Notes et références

1 2 3 Tous les raisonnements et démonstrations contenus dans cet article sont valables tant pour les réels positifs que pour les réels négatifs. En effet, en remarquant que tout réel négatif $t$ peut être écrit comme $- p$ , où $p$ est un réel positif, les développements décimaux de $p$ , discutés et démontrés dans l'article, donnent immédiatement ceux de $t$ : il suffit de les faire précéder du signe "-". Pour alléger le texte de l'article, tous les nombres qui y sont mentionnés sont donc, sauf exception dûment signalée, réputés positifs.
↑ Cette hypothèse est souvent faite de façon implicite dans les ouvrages traitant des développements décimaux. Elle est appliquée dans tout l'article.
1 2 Hardy et Wright 1954, p. 108.
↑ Ces différents développements décimaux d'un entier sont introduits et expliqués dans les chapitres de l'article consacrés aux nombres décimaux, rationnels et réels.
1 2 3 4 Université Paris-Saclay 2023, p. 5.
1 2 Un développement décimal est dit "fini" s'il est écrit avec un nombre fini de puissances de dix affectées d'un coefficient non nul. Dans le cas contraire, il est dit "illimité".
↑ Robert Rolland, « Notes sur les développements décimaux périodiques », Bulletin vert de l'APMEP, n^o 472,‎ septembre - octobre 2007, p. 741-752 (lire en ligne [PDF])
1 2 3 4 UFR de Mathématiques d'Université Paris Cité, Développement décimal des nombres réels (Cours de préparation à l'agrégation interne), Paris, 12 p. (lire en ligne)
↑ Les justifications des égalités ci-dessous sont développées dans les chapitres consacrés au développement décimal des rationnels et des réels.
↑ Zayana et Rioul 2019, p. 32.
↑ Certains auteurs qualifient ces développements de "ultimement périodiques" pour indiquer que la période peut ne commencer qu'à un certain rang après la virgule. Dans le texte de cet article "périodique" sera considéré comme synonyme de "ultimement périodique".
↑ Tout nombre rationnel possède un développement décimal illimité périodique. Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q. Les restes de la division sont en nombre fini (0, 1, ..., Q – 1), donc on ne peut pas prolonger indéfiniment la division sans rencontrer deux restes identiques. Si on appelle r₁ et r'₁ les deux premiers restes identiques, on voit que la division de 10r₁ par Q sera identique à celle de 10r'₁ par Q, et donnera le même quotient q₁ = q'₁ et même reste r₂ = r'₂ et ainsi de suite.
1 2 Les raisons pour lesquelles il est possible et légitime de multiplier un nombre s'exprimant sous forme d'un développement décimal de la forme 0,(période)(période)(période)...et ainsi "déplacer la virgule" sont liées à la définition formelle d'un tel développement comme la limite à l'infini d'une série convergente. Elles sont justifiées dans le chapitre dédié au cas général du développement décimal des réels.
↑ Renaud Coulangeon, Nombres décimaux, développement décimal d’un rationnel (Cours niveau CAPES), Bordeaux, Institut de Mathématiques de Bordeaux, 2009, 4 p. (lire en ligne [PDF]).
↑ Dans Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 13, il est démontré que la suite $U_{n} + 1 0^{- n}$ est alors constante à partir du rang $k - 1$ . Comme cette suite tend vers $x$ , $x$ est bien un décimal d'ordre $k - 1$
↑ Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 14.
↑ Attention : le fait que cette fonction, ainsi définie, soit bijective ne veut pas dire que la fonction "développement décimal" discutée dans cet article, même en excluant la période " $9$ ", soit bijective sur $ℝ$ . En effet, pour qu'elle le devienne, il faut non seulement exclure la période " $9$ " mais en outre ajouter la convention, déjà mentionnée, qu'aucun développement décimal d'un nombre supérieur à $1$ ne commence par " $0$ ". Sinon, on pourrait écrire, par exemple, $2 = 02 = 002 = \dots$ créant ainsi une infinité de représentations du nombre deux.
↑ En 2024, on connaît les 202 112 290 000 000 premières décimales de $π$ .
↑ Delahaye 2012.
↑ Zayana et Rioul 2019, p. 42-43.
↑ Université Paris-Saclay 2023, p. 3.
↑ Zayana et Rioul 2019, p. 41.
↑ Zayana et Rioul 2019, p. 39.
1 2 Zayana et Rioul 2019, p. 40.
↑ Université Paris-Saclay 2023, p. 7-8.
↑ François De Marçay, Ensemble(s) de Cantor Alias Poussière(s) de Cantor, Orsay, Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, 13 p. (lire en ligne)
↑ James E. Foster, « A Number System without a Zero-Symbol », Mathematics Magazine, vol. 21, n^o 1,‎ 1947, p. 39–41 (ISSN 0025-570X, DOI 10.2307/3029479, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2025)
↑ En effet un développement décimal sans zéro est également un développement 10-adique.

Bibliographie

Jean-Paul Delahaye, « Être normal ? Pas si facile ! », Pour la science, n^o 422,‎ décembre 2012, p. 126-131 (lire en ligne [PDF]).
(en) G.H. Hardy et E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, London, Oxford University Press, 1954, 3^e éd., 444 p. (lire en ligne).
Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de Mathématiques : Analyse, t. 2, Paris, Bordas, 1977.
Université Paris-Saclay, Leçon 205 : Écriture décimale d'un nombre réel. Cas des nombres rationnels. Notes de cours. (Cours d'analyse pour l'agrégation interne), Saclay, Université Paris-Saclay, 2023, 9 p. (lire en ligne [PDF]).
Karim Zayana et Olivier Rioul, « Imagine R », Bulletin de l’Union des Professeurs de classes préparatoires Scientifiques, Paris, n^o 267,‎ septembre 2019, p. 30-45 (lire en ligne [PDF], consulté le 5 octobre 2025).

Articles connexes

Liens externes

Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :
- Den Store Danske Encyklopædi
- Store norske leksikon
Notices d'autorité :
- Japon

Arithmétique et théorie des nombres

[:3-1] 1 2 3 Tous les raisonnements et démonstrations contenus dans cet article sont valables tant pour les réels positifs que pour les réels négatifs. En effet, en remarquant que tout réel négatif $t$ peut être écrit comme $- p$ , où $p$ est un réel positif, les développements décimaux de $p$ , discutés et démontrés dans l'article, donnent immédiatement ceux de $t$ : il suffit de les faire précéder du signe "-". Pour alléger le texte de l'article, tous les nombres qui y sont mentionnés sont donc, sauf exception dûment signalée, réputés positifs.

[2] Cette hypothèse est souvent faite de façon implicite dans les ouvrages traitant des développements décimaux. Elle est appliquée dans tout l'article.

[HardyWright1954108-3] 1 2 Hardy et Wright 1954, p. 108.

[4] Ces différents développements décimaux d'un entier sont introduits et expliqués dans les chapitres de l'article consacrés aux nombres décimaux, rationnels et réels.

[Université_Paris-Saclay20235-5] 1 2 3 4 Université Paris-Saclay 2023, p. 5.

[:0-6] 1 2 Un développement décimal est dit "fini" s'il est écrit avec un nombre fini de puissances de dix affectées d'un coefficient non nul. Dans le cas contraire, il est dit "illimité".

[7] Robert Rolland, « Notes sur les développements décimaux périodiques », Bulletin vert de l'APMEP, n^o 472,‎ septembre - octobre 2007, p. 741-752 (lire en ligne [PDF])

[:1-8] 1 2 3 4 UFR de Mathématiques d'Université Paris Cité, Développement décimal des nombres réels (Cours de préparation à l'agrégation interne), Paris, 12 p. (lire en ligne)

[9] Les justifications des égalités ci-dessous sont développées dans les chapitres consacrés au développement décimal des rationnels et des réels.

[ZayanaRioul201932-10] Zayana et Rioul 2019, p. 32.

[11] Certains auteurs qualifient ces développements de "ultimement périodiques" pour indiquer que la période peut ne commencer qu'à un certain rang après la virgule. Dans le texte de cet article "périodique" sera considéré comme synonyme de "ultimement périodique".

[12] Tout nombre rationnel possède un développement décimal illimité périodique. Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q. Les restes de la division sont en nombre fini (0, 1, ..., Q – 1), donc on ne peut pas prolonger indéfiniment la division sans rencontrer deux restes identiques. Si on appelle r₁ et r'₁ les deux premiers restes identiques, on voit que la division de 10r₁ par Q sera identique à celle de 10r'₁ par Q, et donnera le même quotient q₁ = q'₁ et même reste r₂ = r'₂ et ainsi de suite.

[:2-13] 1 2 Les raisons pour lesquelles il est possible et légitime de multiplier un nombre s'exprimant sous forme d'un développement décimal de la forme 0,(période)(période)(période)...et ainsi "déplacer la virgule" sont liées à la définition formelle d'un tel développement comme la limite à l'infini d'une série convergente. Elles sont justifiées dans le chapitre dédié au cas général du développement décimal des réels.

[14] Renaud Coulangeon, Nombres décimaux, développement décimal d’un rationnel (Cours niveau CAPES), Bordeaux, Institut de Mathématiques de Bordeaux, 2009, 4 p. (lire en ligne [PDF]).

[15] Dans Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 13, il est démontré que la suite $U_{n} + 1 0^{- n}$ est alors constante à partir du rang $k - 1$ . Comme cette suite tend vers $x$ , $x$ est bien un décimal d'ordre $k - 1$

[Lelong-FerrandArnaudiès197714-16] Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 14.

[17] Attention : le fait que cette fonction, ainsi définie, soit bijective ne veut pas dire que la fonction "développement décimal" discutée dans cet article, même en excluant la période " $9$ ", soit bijective sur $ℝ$ . En effet, pour qu'elle le devienne, il faut non seulement exclure la période " $9$ " mais en outre ajouter la convention, déjà mentionnée, qu'aucun développement décimal d'un nombre supérieur à $1$ ne commence par " $0$ ". Sinon, on pourrait écrire, par exemple, $2 = 02 = 002 = \dots$ créant ainsi une infinité de représentations du nombre deux.

[18] En 2024, on connaît les 202 112 290 000 000 premières décimales de $π$ .

[Delahaye2012-19] Delahaye 2012.

[ZayanaRioul201942-43-20] Zayana et Rioul 2019, p. 42-43.

[Université_Paris-Saclay20233-21] Université Paris-Saclay 2023, p. 3.

[ZayanaRioul201941-22] Zayana et Rioul 2019, p. 41.

[ZayanaRioul201939-23] Zayana et Rioul 2019, p. 39.

[ZayanaRioul201940-24] 1 2 Zayana et Rioul 2019, p. 40.

[Université_Paris-Saclay20237-8-25] Université Paris-Saclay 2023, p. 7-8.

[26] François De Marçay, Ensemble(s) de Cantor Alias Poussière(s) de Cantor, Orsay, Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, 13 p. (lire en ligne)

[27] James E. Foster, « A Number System without a Zero-Symbol », Mathematics Magazine, vol. 21, n^o 1,‎ 1947, p. 39–41 (ISSN 0025-570X, DOI 10.2307/3029479, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2025)

[28] En effet un développement décimal sans zéro est également un développement 10-adique.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]