Conjecture 3d de Kalai
En géométrie combinatoire , la conjecture 3d de Kalai est une minoration du nombre de faces des polytopes à symétrie centrale, conjecturée par Gil Kalai en 1989.
Énoncé
modifierSoit P un polytope (convexe) de dimension d, symétrique par rapport à l'origine (c'est-à-dire que si A est un sommet de P, -A en est également un). Notant le nombre de k-faces de P (on a donc sommets, arêtes, etc., et ), la minoration conjecturée par Kalai[1] est : .
Exemples
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Dual_Cube-Octahedron.svg/220px-Dual_Cube-Octahedron.svg.png)
En dimension 2, les polygones symétriques ont un nombre pair de côtés ; on a donc , et on a bien .
En dimension 3, le cube (, et ) et l'octaèdre régulier, son dual (, et ) atteignent tous deux le minorant : .
En dimensions supérieures, l'hypercube [0,1]d a exactement 3d faces (on peut le voir en remarquant que chaque k-face est déterminée par ses projections sur les d axes de coordonnées ; chaque projection est l'origine, le point 1, ou le segment [0,1], ce dernier cas se produisant k fois). Si la conjecture est vraie, l'hypercube est donc une réalisation du minorant[1]. Plus généralement, tous les polytopes de Hanner (en) (définis par récurrence comme produits cartésiens et duaux de polytopes de Hanner déjà construits) ont exactement 3d faces.
Résultats partiels
modifierPour , la conjecture est démontrée[2] ; elle est également vraie pour les polytopes simpliciaux (en) (ceux dont toutes les faces sont des simplexes) : elle résulte dans ce cas d'une conjecture de Imre Bárány, démontrée par Richard Peter Stanley[3],[4] (ces deux articles sont cités par Kalai comme motivation pour sa conjecture[1]). La conjecture a été démontrée pour d'autres classes de polytopes, comme les polytopes de Hansen[5], mais reste ouverte dans le cas général.
Kalai avait formulé une autre conjecture affirmant que le f-vecteur correspondant à P « dominait » le f-vecteur d'au moins un polytope de Hanner H (de la même dimension), c'est-à-dire qu'en notant le nombre de k-faces de H, on avait pour tout k. Mais cette conjecture (qui implique la conjecture 3d) a été réfutée en 2009[2].
Références
modifier- (en) Gil Kalai, « The number of faces of centrally-symmetric polytopes », Graphs and Combinatorics, vol. 5, no 1, , p. 389-391 (DOI 10.1007/BF01788696, MR 1554357).
- (en) Raman Sanyal, Axel Werner et Günter M. Ziegler, « On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes », Discrete & Computational Geometry, vol. 41, no 2, , p. 183–198 (DOI 10.1007/s00454-008-9104-8, MR 2471868, arXiv 0708.3661)/
- (en) Imre Bárány et László Lovász, « Borsuk's theorem and the number of facets of centrally symmetric polytopes », Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, vol. 40, nos 3–4, , p. 323-329 (DOI 10.1007/BF01903592, MR 686332).
- (en) Richard P. Stanley, « On the number of faces of centrally-symmetric simplicial polytopes », Graphs and Combinatorics, vol. 3, no 1, , p. 55-66 (DOI 10.1007/BF01788529, MR 932113).
- (en) Ragnar Freij, Matthias Henze, Moritz W. Schmitt et Günter M. Ziegler, « Face numbers of centrally symmetric polytopes produced from split graphs », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 20, no 2, , #P32 (DOI 10.37236/3315, MR 3066371, arXiv 1201.5790, lire en ligne).