Conjecture d'Agoh-Giuga
En théorie des nombres, la conjecture d'Agoh-Giuga sur les nombres de Bernoulli énonce qu'un entier p est un nombre premier si, et seulement si :
(La notation signifie que p divise le numérateur de mais pas le dénominateur de .)
La condition de la conjecture est nécessaire car on sait, d'après le théorème de von Staudt-Clausen, que pour tout nombre premier p tel que divise 2m et que .
La conjecture ainsi énoncée est due à Takashi Agoh. Une formulation équivalente due à Giuseppe Giuga est qu'un nombre p est premier si, et seulement si :
- .
Voir l'article nombres de Giuga. L'équivalence entre les deux formulations est démontrée par Agoh[1].
Dans la formulation de Giuga, une implication se déduit du petit théorème de Fermat. En effet, selon celui-ci, si p est un nombre premier, alors pour tout entier a entre 1 et p-1, la puissance p-1e de a est congrue à 1 modulo p. La congruence (1) s'obtient en sommant ces relations. Giuga a démontré qu'un possible contre-exemple (c'est-à-dire un nombre composé vérifiant la congruence (1)) est un nombre de Carmichael[2] ; il a vérifié la conjecture pour n < 10 1000 ; Edmondo Bedocchi l'a vérifié pour n < 10 1700 , et en 1996 Borwein et d'autres sont allés jusqu'à n < 10 13800 . Laerte Sorini, enfin, dans un ouvrage de 2001, a montré qu'un contre-exemple éventuel devait être un nombre n supérieur à 10 36067 qui est la limite suggérée par Bedocchi pour des raisons techniques à la démonstration indiquée par Giuga à sa propre conjecture.
Notes et références
modifierNotes
modifier- Proposition 5 de l'article d'Agoh.
- Proposition 4 de l'article d'Agoh.
Références
modifier- (it) G. Giuga,« Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi » dans I° Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83 (1950), 511-528.
- (it) E. Bedocchi,« Nota ad una congettura sui numeri primi , Riv. Mat. Univ. Parma, (4) 11 (1985), 229-236.
- (en) T. Agoh, « On Giuga’s conjecture » dans Manuscripta Math. 87(4) (1995), 501-10.
- (en) D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein and R. Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans Amer. Math. Monthly, 103, 40-50, (1996). pdf
- (it) L. Sorini, « Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga » dans Facoltà di Economia, Università degli Studi di Urbino Carlo Bo, Quaderni di Economia, Matematica e Statistica , n. 68, Ottobre (2001).
- (en) J. M. Borwein, M. Skerritt and C. Maitland, « Computation of a lower bound to Giuga's primality conjecture » dans Integers 13 (2013).