Conjecture de Gilbreath
En théorie des nombres, la conjecture de Gilbreath ou conjecture de Proth-Gilbreath[1],[2],[3], est une conjecture non résolue attribuée à Norman L. Gilbreath en 1958, bien que déjà énoncée en 1878 par François Proth[4], qui croyait l'avoir démontrée[5].
Définition du problème
modifierOn écrit sur une première ligne la suite des nombres premiers, soit :
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
et on écrit sur chaque ligne suivante la valeur absolue de la différence entre deux valeurs consécutives de la ligne précédente, ce qui équivaut, en notant les valeurs de la suite d'une certaine ligne et celles de la ligne suivante, à :
- .
On obtient ainsi une succession de lignes :
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 |
| 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 4 | 2 | 4 | 6 | 2 | |
| 1 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 4 | ||
| 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | |||
| 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 | ||||
| 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | |||||
| 1 | 2 | 0 | 0 | 2 |
La conjecture de Gilbreath s'énonce ainsi :
La première valeur de chaque ligne est 1 (sauf dans la première ligne).
Elle a été vérifiée en 1993 par Andrew Odlyzko, pour les nombres premiers inférieurs à 1013, c'est-à-dire jusqu'à la 3,4.1011-ième ligne[6].
En 2025, elle a été vérifiée par Simon Plouffe et Jean-François Colonna pour les nombres premiers inférieurs à [2],[3],[7].
Jean-Francois Colonna a annoncé le 24/01/2026 une vérification numérique pour les nombres premiers jusqu'à 1,5.1015[8][source secondaire nécessaire].
Le tableau précédent, lu par antidiagonales montantes, est répertorié comme suite A036262 de l'OEIS.
Notes et références
modifier- ↑ Jean-Paul Delahaye, « Déconcertantes conjectures », Pour la Science, no 367, , p. 97 (lire en ligne)
- 1 2 François Colonna, « La conjecture de Proth-Gilbreath », sur Images des maths,
- 1 2 Jean-Paul Delahaye, « Nouveaux records pour la conjecture de Proth-Gilbreath », Pour la Science, no 580, , p. 68-73 (lire en ligne
) - ↑ François Proth, « Sur la série des nombres premiers », Nouv. Corresp. Math, vol. 4, , p. 236-240 (lire en ligne).
- ↑ (en) Chris Cladwell, « Gilbreath's conjecture », sur Prime Pages.
- ↑ (en) Andrew Odlyzko, « Iterated absolute values of differences of consecutive primes », Math. Comp., vol. 61, , p. 373-380 (lire en ligne).
- ↑ Simon Plouffe, « Vérification de la conjecture de Proth-Gilbraith jusqu’à 𝜋(10^14) et méthodes pour anticiper et minorer les résultats de vérification au-delà », sur plouffe.fr
- ↑ Jean-Francois Colonna, « La Conjecture de Proth-Gilbreath, Battre le record de Andrew Odlyzko G(Pi(10^13))=635 (1993),G(Pi(1.0025x1015))=806 le 24/01/2026 »,
