Conjecture de Hilbert-Smith

En mathématiques, la conjecture de Hilbert-Smith concerne les groupes de transformation des variétés ; et en particulier sur les groupes topologiques agissant sur une variété topologique M. La conjecture énonce que tout groupe localement compact agissant continument et fidèlement sur M doit être un groupe de Lie.

Du fait des résultats de structure connus sur le groupe G, il suffit de traiter le cas où G est le groupe additif Z_p des entiers p-adiques, pour un certain nombre premier p. Une forme équivalente de la conjecture est que Z_p n'a pas d'action fidèle sur une variété topologique.

Les mathématiciens ayant donné leur nom à cette conjecture sont David Hilbert, et le topologue américain Paul Althaus Smith^[1]. Elle est considérée par certains comme une meilleure formulation du cinquième problème de Hilbert.

En 1997, Dušan Repovš et Evgenij Ščepin ont prouvé la conjecture de Hilbert-Smith pour les groupes agissant par applications lipschitziennes sur une variété riemannienne, en utilisant les théories des revêtements, de la dimension fractale et de la dimension cohomologique^[2].

En 1999, Gaven Martin a étendu leur argument de la théorie des dimensions aux actions quasi-conformes sur une variété riemannienne, et a donné des applications concernant l'unicité du prolongement analytique des systèmes de Beltrami^[3].

En 2013, John Pardon a prouvé le cas tridimensionnel de la conjecture de Hilbert-Smith^[4].

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hilbert–Smith conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Paul A. Smith, « Periodic and nearly periodic transformations », dans R. Wilder et W. Ayres, Lectures in Topology, Ann Arbor, MI, University of Michigan Press, 1941, p. 159-190.
↑ (en) Dušan Repovš et Evgenij V. Ščepin, « A proof of the Hilbert-Smith conjecture for actions by Lipschitz maps », Math. Ann., vol. 308, n^o 2,‎ 1997, p. 361-364 (DOI 10.1007/s002080050080).
↑ (en) Gaven Martin, « The Hilbert-Smith conjecture for quasiconformal actions », Electronic Research Announcements of the AMS, vol. 5, n^o 9,‎ 1999, p. 66-70.
↑ (en) John Pardon, « The Hilbert-Smith conjecture for three-manifolds », J. Amer. Math. Soc., vol. 26, n^o 3,‎ 2013, p. 879-899 (DOI 10.1090/s0894-0347-2013-00766-3, arXiv 1112.2324).

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[1] (en) Paul A. Smith, « Periodic and nearly periodic transformations », dans R. Wilder et W. Ayres, Lectures in Topology, Ann Arbor, MI, University of Michigan Press, 1941, p. 159-190.

[2] (en) Dušan Repovš et Evgenij V. Ščepin, « A proof of the Hilbert-Smith conjecture for actions by Lipschitz maps », Math. Ann., vol. 308, n^o 2,‎ 1997, p. 361-364 (DOI 10.1007/s002080050080).

[3] (en) Gaven Martin, « The Hilbert-Smith conjecture for quasiconformal actions », Electronic Research Announcements of the AMS, vol. 5, n^o 9,‎ 1999, p. 66-70.

[4] (en) John Pardon, « The Hilbert-Smith conjecture for three-manifolds », J. Amer. Math. Soc., vol. 26, n^o 3,‎ 2013, p. 879-899 (DOI 10.1090/s0894-0347-2013-00766-3, arXiv 1112.2324).

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