Conjecture de Poincaré

La conjecture de Poincaré est une conjecture mathématique du domaine de la topologie algébrique portant sur la caractérisation d'une variété particulière, la sphère de dimension trois ; elle a été démontrée en 2002 par le Russe Grigori Perelman. On peut ainsi également l'appeler théorème de Perelman.

Aucune des deux boucles colorées de ce tore ne peut être resserrée de façon continue jusqu’à former un point. Un tore n’est pas homéomorphe à une sphère.

En 2000, elle fait partie des listes de problèmes non résolus « problèmes de Smale » et des sept « problèmes du prix du millénaire » recensés et mis à prix par l'Institut de mathématiques Clay. En 2006, cette démonstration est validée par l'attribution à Grigori Perelman d'une médaille Fields, qu'il refuse. En mars 2010, l'institut Clay lui décerne officiellement le prix du millénaire, qu'il rejette également en raison du refus de décerner aussi le prix à Richard S. Hamilton, dont le travail a servi de fondation au théorème de Perelman.

Historique

Formulation

La question est posée pour la première fois par Henri Poincaré dans son article de 1904, « Cinquième complément à l'Analysis Situs », et peut s'énoncer aujourd'hui ainsi :

Toute 3-variété compacte sans bord et simplement connexe est-elle homéomorphe à la 3-sphère ?

Dans sa formulation originale de 1904 : « Est-il possible que le groupe fondamental de V se réduise à la substitution identique, et que pourtant V ne soit pas simplement connexe ? » (la terminologie signifiant aujourd'hui « ne soit pas une sphère »)

Poincaré ajoute en conclusion, avec beaucoup de clairvoyance : « mais cette question nous entraînerait trop loin ».

Plus simplement, il s'agit de déterminer si « un objet à trois dimensions » donné, possédant les mêmes propriétés que celles de la sphère 3D (où notamment toutes les boucles peuvent être «contractées » en un point), est bien une déformation d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire — surface dans l'espace ordinaire — possède seulement deux dimensions).

Aucune 3-variété sans bord autre que $\mathbb {R} ^{3}$ (l'espace ordinaire, non compact) ne peut être dessinée proprement comme objet dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.

Démonstration

Grigori Perelman démontre la conjecture de Poincaré en 2002.

Vers la fin de l'année 2002, des publications sur arXiv de Grigori Perelman, de l'Institut de mathématiques Steklov de Saint-Pétersbourg, laissent penser qu'il pourrait avoir trouvé une preuve de la « conjecture de géométrisation » (voir ci-dessous), mettant en œuvre un programme décrit plus tôt par Richard S. Hamilton. En 2003, il publie un deuxième rapport et donne une série de conférences aux États-Unis. En 2006, un consensus d'experts conclut que le travail récent de Perelman en 2003 résout ce problème, près d'un siècle après son premier énoncé. La reconnaissance est officielle lors du congrès international des mathématiciens, le 22 août 2006, à Madrid, au cours duquel la médaille Fields lui est décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman refuse la médaille, et laisse entendre qu'il refusera également le prix Clay. Ce prix lui est décerné le 18 mars 2010, prix accompagné d'une récompense d'un million de dollars qu'il refuse effectivement.

Perelman refuse de communiquer avec les médias. Le scientifique déclare que ceux-ci s’intéressent trop peu à l'aspect scientifique, mais sont friands d'informations sur sa vie personnelle. Malgré cela, le 29 avril 2011, une interview est publiée dans le tabloïde russe Komsomolskaïa Pravda, dans lequel il déclare « Je sais comment diriger l'Univers. Dites-moi alors, à quoi bon courir après un million de dollars ? ». Cette affirmation est controversée, plusieurs journalistes niant l'authenticité de cette interview.

Éléments liés à la preuve de la conjecture

Si la conjecture a induit une longue liste de preuves incorrectes, certaines d'entre elles ont toutefois mené à une meilleure compréhension de la topologie en petites dimensions.

Sa résolution est liée au problème de classification des variétés de dimension 3. Une classification des variétés de dimension 3 est généralement considérée comme la production d'une liste de toutes les variétés de dimension 3 à un homéomorphisme près (sans répétition).

Une telle classification est équivalente à un algorithme de reconnaissance, qui pourrait vérifier si deux variétés de dimension 3 sont homéomorphes ou pas.

On peut ainsi considérer la conjecture de Poincaré comme un cas particulier de la conjecture de géométrisation de Thurston. Cette dernière conjecture, une fois prouvée (ce qu'a fait Perelman en 2003), achève la question de la classification des variétés de dimension 3.

Les seules parties de la conjecture de géométrisation qu'il restait à démontrer après sa formulation par Thurston vers 1980, étaient appelées la conjecture d'« hyperbolisation » et la conjecture d'« elliptisation ».

La conjecture d'« elliptisation » déclare que toute variété de dimension 3 fermée ayant un groupe fondamental fini a une géométrie sphérique, c'est-à-dire est couverte par la 3-sphère. La conjecture de Poincaré correspond au cas où le groupe fondamental est trivial.

Problèmes mathématiques reliés

Des conjectures analogues à celles de Poincaré dans des dimensions autres que 3 peuvent également être formulées :

Toute variété compacte de dimension n qui est homotopiquement équivalente à la sphère unité est homéomorphe à la sphère unité.

La conjecture de Poincaré donnée précédemment apparaît comme le cas particulier n = 3.

La difficulté de la basse dimension en topologie est accentuée par le fait que tous les résultats analogues avaient été prouvés :

• en dimension n = 4, de loin la plus difficile, par Michael Freedman en 1982 ;
• en dimension n = 5, par Erik Christopher Zeeman en 1961 ;
• en dimension n = 6, par John R. Stallings en 1962 ;
• pour n ≥ 7 par Stephen Smale en 1961 (il étendit par la suite sa démonstration à tout n ≥ 5),

alors que la version à trois dimensions originale de la conjecture de Poincaré demeurait sans solution.

Voir aussi

Article annexe

• Voyages au pays des maths

Articles connexes

• Conjecture de Poincaré généralisée (en)
• Conjecture de Borel (en)
• Programme de Hamilton
• Groupe d'homotopie
• Liste de conjectures mathématiques
• Variété topologique

Bibliographie

• Henri Poincaré, « Cinquième complément à l'Analysis Situs », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 18,‎ 1904, p. 45-110 (DOI 10.1007/bf03014091, lire en ligne).
• (en) John Milnor, « Towards the Poincaré Conjecture and the Classification of 3-Manifolds », Notices of the American Mathematical Society, vol. 50, n^o 10,‎ novembre 2003, p. 1226-1233 (lire en ligne).
  • John Milnor (trad. Louis Funar et Hervé Pajot), « Vers la conjecture de Poincaré et la classification des variétés de dimension 3 », Gazette des mathématiciens, vol. 99,‎ janvier 2004, p. 13-25 (lire en ligne).
• (en) John Milnor, « The Poincaré Conjecture », dans James Carlson (dir.), Arthur Jaffe (dir.) et Andrew Wiles (dir.), The Millennium Prize Problems, Cambridge (MA) et Providence (RI), Institut de mathématiques Clay et American Mathematical Society, 2006, 165 p. (ISBN 0-8218-3679-X), p. 71-86 [lire en ligne (Google Livres)] [lire en ligne (pdf)].
• Gérard Besson, « Preuve de la conjecture de Poincaré en déformant la métrique par la courbure de Ricci » (exposé n^o 947), Astérisque, séminaire Bourbaki, n^o 307 « 2004/2005, exposés n^os 938-951 »,‎ 2006, p. 309-348 (ISBN 978-2-85629-224-2, MR 2296423, zbMATH 1181.53055, lire en ligne).

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Den Store Danske Encyklopædi
• Notices d'autorité :

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• Patrick Massot, « La conjecture de Poincaré », sur Images des mathématiques, 2012.
• « Groupe de travail sur les travaux de Perelman », sur Institut Fourier.
• [vidéo] ARTE, « La conjecture de Poincaré », sur YouTube.