Coordonnées bipolaires
Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales, qui permettent de déterminer la position d'un point grâce à sa distance par rapport à deux foyers fixes donnés.

Définition
modifierEn un point du plan de coordonnées bipolaires (τ , σ) correspond le point
Géométriquement la coordonnée σ d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers (–a, 0) et (a, 0) et le cercle passant par le foyer (–a, 0), le point P et le foyer (a, 0). La coordonnée τ est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a, 0) et la distance au foyer (–a, 0).
Propriétés
modifierOrthogonalité
modifierLes équations pour x et y peuvent être combinés en une variable complexe[1],[2]
Cette équation montre que σ et τ sont respectivement les parties réelle et imaginaire d'une fonction analytique de x + iy (avec des points de branchement logarithmiques aux foyers), ce qui prouve (selon la théorie générale des transformations conformes) (les équations de Cauchy-Riemann) que ces courbes de σ et τ sont des faisceaux orthogonaux, et forment donc bien un système de coordonnées orthogonales.
Courbes de σ et τ constantes
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Les courbes pour σ constant correspondent à un faisceau de cercles non concentriques
qui se croisent aux deux foyers.
Les courbes pour constant forment un faisceau de Poncelet (un faisceau de cercles qui ne se croisent pas) :
dont les points de Poncelet sont les foyers.
Notation complexe
modifierOn a la correspondance pour l'affixe complexe :
Transformation inverse
modifierPour déterminer les coordonnées bipolaires (τ , σ) à partir des coordonnées cartésiennes (x , y), on a
et
On remarque aussi que
et que
Facteurs d'échelle
modifierPour obtenir les facteurs d'échelle pour les coordonnées bipolaires, on considère la différentielle de l'équation x + iy :
En multipliant par l'expression conjuguée, il vient :
Or :
dont on déduit
Ainsi, les facteurs d'échelle pour σ et τ sont identiques, et donnés par
On peut en déduire de nombreux résultats utiles pour le calcul différentiel dans un tel système de coordonnées. Par exemple, un élément de surface sera donné par :
et le laplacien est donné par
Applications
modifierLes coordonnées bipolaires sont utilisées dans la résolution d'équations aux dérivées partielles, comme l'équation de Laplace ou l'équation de Helmholtz, où ce système permet d'avoir une séparation des variables. Un exemple est le champ électrique autour de deux conducteurs cylindriques parallèles de diamètres différents[3],[4].
Notes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bipolar coordinates » (voir la liste des auteurs).
- ↑ (en) Andrei Dmitrievich Polyanin, Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists, CRC Press, (ISBN 1-58488-299-9, lire en ligne), p. 476
- ↑ (en) John Happel et Howard Brenner, Low Reynolds number hydrodynamics: with special applications to particulate media, vol. 1, Springer, coll. « Mechanics of fluids and transport processes », (ISBN 978-90-247-2877-0, lire en ligne), p. 497
- ↑ (en) Phil Lucht, Tensor Analysis and Curvilinear Coordinates, (lire en ligne).
- ↑ (en) Phil Lucht, Transmission Lines and Maxwell's Equations, (DOI 10.13140/RG.2.1.4774.0320, lire en ligne).
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifierLiens externes
modifier- (en) Eric W. Weisstein, « Bipolar Coordinates », sur MathWorld