Cosinus hyperbolique
Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.
Notation | |
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Réciproque |
sur |
Dérivée | |
Primitives |
Ensemble de définition | |
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Ensemble image | |
Parité |
paire |
Valeur en zéro |
1 |
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Limite en +∞ | |
Limite en −∞ | |
Minima |
1 en 0 |
Définition
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Complex_Cosh.jpg/220px-Complex_Cosh.jpg)
La fonction cosinus hyperbolique, notée (ou )[1], est la fonction complexe suivante :
où est l'exponentielle complexe.
La fonction cosinus hyperbolique est donc la partie paire de l'exponentielle complexe. Elle se restreint en une fonction réelle d'une variable réelle.
La fonction cosinus hyperbolique restreinte à ℝ est en quelque sorte l'analogue dans la géométrie hyperbolique de la fonction cosinus (voir infra).
La notation Ch. x a été introduite par Vincenzo Riccati au XVIIIe siècle.
Propriétés
modifierPropriétés générales
modifier- cosh est continue et même holomorphe donc de classe C∞ (c.-à-d. infiniment dérivable). Sa dérivée est la fonction sinus hyperbolique, notée sinh.
- cosh est paire.
- Les primitives de cosh sont sinh + C, où C est une constante d'intégration.
- cosh est strictement croissante sur ℝ+.
Propriétés trigonométriques
modifierDes définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on peut déduire les égalités suivantes, valables pour tout complexe et analogues aux formules d'Euler en trigonométrie circulaire :
Quand t décrit ℝ, de même que le point de coordonnées parcourt un cercle d'équation , celui de coordonnées parcourt donc une branche d'une hyperbole équilatère d'équation .
D'autre part, pour tous nombres complexes et :
- ;
- ;
- , d'où
- .
L'utilisation de formules trigonométriques telles que permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel ) :
- ;
voir également l'article Gudermannien.
Développement en série de Taylor
modifierLa série de Taylor de la fonction cosh converge sur ℂ tout entier et est donnée par :
.
Polynômes de Tchebychev
modifierSoit le n-ième polynôme de Tchebychev. En prolongeant aux complexes la relation (vraie pour tout réel t) , on obtient pour tout complexe z la relation
- .
Valeurs
modifierQuelques valeurs de :
- ;
- ;
- .
Zéros
modifierTous les zéros de cosh sont des imaginaires purs. Plus précisément, pour tout nombre complexe ,
En effet, soit avec réels. On a alors , donc
- .
Fonction réciproque
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Inverse_Hyperbolic_Cosine.svg/220px-Inverse_Hyperbolic_Cosine.svg.png)
Sur [0, +∞[, cosh est continue et strictement croissante ; sa valeur en 0 est 1 et sa limite en +∞ est +∞. C'est donc une bijection de [0, +∞[ dans [1, +∞[. Sa bijection réciproque, notée arcosh (ou argch), est nommée « argument cosinus hyperbolique » ou « arc cosinus hyperbolique ».
Sur ℂ, il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure la demi-droite ]–∞, 1].
Pour x∈ [1, +∞[, il existe deux réels dont le cosh vaut x : En effet, en posant et en utilisant que et , on obtient
La fonction est dérivable sur ]1, +∞[ et
Utilisation
modifierGéométrie hyperbolique
modifierEn géométrie hyperbolique, de nombreuses formules sont les analogues des formules correspondantes en trigonométrie sphérique, en remplaçant les fonctions circulaires par les fonctions hyperboliques correspondantes ; ainsi, la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique (ou loi des cosinus), devient, pour un triangle hyperbolique, cosh(c) = cosh(a) cosh(b) - sinh(a) sinh(b) cos(γ) (pour la signification des lettres, se reporter aux articles détaillés).
Physique
modifierLa courbe représentative de la fonction sur ℝ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble homogène fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.
Architecture
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/St_Louis_Gateway_Arch.jpg/220px-St_Louis_Gateway_Arch.jpg)
Le cosinus hyperbolique correspond en architecture à l'arc caténaire issu au départ de l'ingénierie des ponts suspendus. Antoni Gaudí a été l'un des premiers à l'utiliser massivement en architecture commune avec en particulier deux de ses œuvres les plus connues : la crypte de la Colonia Güell et la Sagrada Família.
La Gateway Arch à Saint-Louis dans le Missouri possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation
pour –96 < x < 96.
Notes et références
modifier- La norme internationale ISO/CEI 80000-2:2009 recommande cosh.