Cosinus hyperbolique réciproque

Le cosinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Courbe représentative de la fonction arcosh.

Définition

La fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique, notée arcosh (ou argch),

$\operatorname {arcosh} :\left[1,+\infty \right[\to \mathbb {R} +$

est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :

$y=\operatorname {arcosh} x\quad \Longleftrightarrow \quad x=\cosh y\;{\text{ et }}\;y\geq 0$.

Propriétés

Cette fonction est injective et son image est $\mathbb {R} _{+}$. Elle est continue, strictement croissante et concave.

Sa valeur en 1 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur ]1, +∞[ et sa dérivée est donnée par :

$\forall x>1\quad \operatorname {arcosh} 'x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$.

On en déduit la primitive de arcosh qui s'annule en 1 :

$\forall x\geq 1\quad \int _{1}^{x}\operatorname {arcosh} u\,\mathrm {d} u=x\operatorname {arcosh} x-{\sqrt {x^{2}-1}}$.

La composée de arcosh par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :

$\forall x\geq 1\quad \sinh \left(\operatorname {arcosh} x\right)={\sqrt {x^{2}-1}}$.

Par conséquent :

• la fonction arcosh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :

  $\forall x\geq 1\quad \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ ;

• la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :

  $\forall u\geq v\geq 1\quad \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {\left(u^{2}-1\right)\left(v^{2}-1\right)}}\right)$.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Cosine », sur MathWorld