Cosinus hyperbolique réciproque
Le cosinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Mplwp_arcosh.svg/440px-Mplwp_arcosh.svg.png)
Définition
modifierLa fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique[1], notée arcosh[2] (ou argch[3]),
est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :
- .
Propriétés
modifierCette fonction est injective et son image est . Elle est continue, strictement croissante et concave.
Sa valeur en 1 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.
Elle est dérivable sur ]1, +∞[ et sa dérivée est donnée par :
- .
On en déduit la primitive de arcosh qui s'annule en 1 :
- .
La composée de arcosh par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :
- .
Par conséquent :
- la fonction arcosh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :
- [4] ;
- la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :
- .
Lien externe
modifier(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Cosine », sur MathWorld
Notes et références
modifier- Daniel Guinin et Bernard Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 26.
- Notation recommandée par la norme ISO/CEI 80000-2.
- André Delachet, Les Logarithmes et leurs applications, Pr. Univ. de France, coll. « Que-Sais-je, n°850 »,
- Pour une preuve plus directe, voir par exemple .