Démonstration des lois de Kepler

Les lois de Kepler ont été publiés en 1609 et 1619 à partir des observations de Tycho Brahe à la fin du XVI^e siècle et de leur analyse poussée par Johannes Kepler dans les décennies qui ont suivi.

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En 1687 dans les Philosophiae naturalis principia mathematica, Isaac Newton introduit la force de gravitation, qui se veut être à la fois une explication aux mouvements des planètes, et à la pesanteur sur Terre. Le problème exposé ici est de démontrer que la seule expression de la loi universelle de la gravitation, combinée au principe fondamental de la dynamique, fournit une justification des lois empiriques de Kepler. Il fut résolu par Newton avec les premières avancées du calcul infinitésimal et intégral^[1]. C'est cette démonstration à la fois physique, algébrique et géométrique qui est développée dans l'article, en utilisant des conventions d'écriture modernes^[2]. Celle plus exclusivement mathématique basée sur le calcul différentiel se trouve dans les notes.

Mais le problème à deux corps n'est pas abordé dans les démonstrations qui suivent où la masse du corps en mouvement est considérée comme négligeable par rapport à celle du corps central, ce qui est le cas dans le système solaire. Le barycentre entre la planète et le Soleil est donc confondu avec le centre du Soleil et le référentiel héliocentrique est considéré comme immobile. Dans un problème plus difficile à deux corps l'astre le plus massif est lui aussi en mouvement autour du barycentre et l'étude des trajectoires impose de définir une planète fictive.

Conventions et notations pour démontrer les trois lois de Kepler

On prend donc le Soleil comme origine du référentiel, l'axe x sur l'axe des apsides de l'ellipse dans la direction correspondant à la distance la plus petite entre le Soleil et la planète, l'axe y la perpendiculaire située sur le paramètre de l'ellipse, et l'axe z la perpendiculaire au plan de l'écliptique passant par le Soleil.

$M\,$ : la masse du Soleil.
$m\,$ : la masse de la planète.
$O\,$ : la position du Soleil. C'est l'origine du référentiel.
$P\,$ : la position de la planète.
Représentation du mouvement d'une planète
$t=0\,$ : l'instant où la planète se trouve le plus proche du Soleil.
${P_{0}}\,$ : la position de la planète au temps $t=0\,$ .

Elle s'appelle le périhélie. C'est le point le plus proche du Soleil.

$a\,$ : la longueur du grand rayon (ou demi-grand axe).
$b\,$ : la longueur du petit rayon (ou demi-petit axe).
$c$ : la distance séparant le centre de l'ellipse à un des foyers.

${\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {OP}}$ : le vecteur allant du Soleil à la planète.
$r=\|{\overrightarrow {r}}\|=\|{\overrightarrow {OP}}\|$ : la distance du Soleil à la planète.
${\overrightarrow {r_{0}}}={\overrightarrow {OP_{0}}}$ : le vecteur allant du Soleil à la planète au temps $t=0\,$ .
${\overrightarrow {v}}={\frac {d{\overrightarrow {r}}}{dt}}$ : la vitesse de la planète, dérivée du vecteur position.
Schéma et notations pour démontrer la loi des aires
${\overrightarrow {a}}={\frac {d{\overrightarrow {v}}}{dt}}$ : le vecteur accélération de la planète
${\overrightarrow {v_{0}}}$ : la vitesse de la planète au temps $t=0\,$ .
${\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {a}}$ : la force d'attraction de la planète par le Soleil.
$\theta$ : l'angle entre les vecteurs ${\overrightarrow {r_{0}}}$ et ${\overrightarrow {r}}$ .
$A(t)$ : l'aire délimitée par ces deux vecteurs et la trajectoire.
$d\theta$ : l'angle entre ${\overrightarrow {r}}(t)$ et ${\overrightarrow {r}}(t+dt)$ .
$dA(t)$ : l'aire du triangle infinitésimal délimité par ces deux vecteurs.
${\frac {dA(t)}{dt}}$ : la vitesse aréolaire.
$w={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {v\sin \alpha }{r}}$ : la vitesse angulaire de la planète.
$\alpha$ : l'angle entre les vecteurs ${\overrightarrow {r}}$ et ${\overrightarrow {v}}$ .
${\overrightarrow {L}}=m\cdot {\overrightarrow {r}}\wedge {\overrightarrow {v}}$ : le moment cinétique relativement à l'origine où se trouve le Soleil.
$C={\frac {L}{m}}$ : la constante des aires ou la norme du moment cinétique spécifique.

C.f. le produit vectoriel "

\wedge \,

" pour des informations sur cet opérateur.

Première partie de la première loi

Dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la première partie de la première loi de Kepler dit que la trajectoire d'une planète se trouve dans un plan si le système est isolé.

Cela résulte du fait que le Soleil attire la planète selon une force centrale. C'est-à-dire une force qui est toujours dirigée de la planète vers le Soleil.

En effet, étant données une position ${\overrightarrow {r_{0}}}$ et une vitesse ${\overrightarrow {v_{0}}}$ initiales, cela définit un plan. Selon nos conventions ci-dessus, c'est le plan passant par l'origine O, contenant les axes x et y.

Puisque la force est centrale, elle et l'accélération sont dans une direction se trouvant dans ce même plan. Donc les variations de vitesses et de positions et en définitive toute la trajectoire resteront dans ce même plan.

Deuxième loi, loi des aires

Démonstration par le moment cinétique

Soit $A(t)$ l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur ${\vec {r}}$ durant un temps $t$ . La seconde loi de Kepler dit que des aires égales sont balayées dans des temps égaux.

En dérivant le moment cinétique ${\overrightarrow {L}}=m{\overrightarrow {r}}\wedge {\overrightarrow {v}}$ par rapport au temps, on obtient :

${\frac {d{\overrightarrow {L}}}{dt}}=m{\overrightarrow {v}}\wedge {\overrightarrow {v}}+m{\overrightarrow {r}}\wedge {\frac {d{\overrightarrow {v}}}{dt}}=m{\overrightarrow {r}}\wedge {\overrightarrow {a}}=m{\overrightarrow {r}}\wedge {\frac {1}{m}}{\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {0}}$ .

Donc le moment cinétique est un vecteur constant. Cela résulte du fait que la force ${\overrightarrow {F}}=m{\overrightarrow {a}}$ est centrale (voir mouvement à force centrale).

D'autre part : ${\frac {L}{m}}=rvsin(\alpha )=2{\frac {dA(t)}{dt}}$ où $L=\|{\overrightarrow {L}}\|$ , $v=\|{\overrightarrow {v}}\|$ et $\alpha$ désigne l'angle entre ${\overrightarrow {r}}$ et ${\overrightarrow {v}}$ .

En effet, durant $dt$ , le double de l'aire $dA(t)$ du triangle infinitésimal^[3] délimité par ${\overrightarrow {r}}(t)$ et ${\overrightarrow {r}}(t+dt)$ vaut $\|{\overrightarrow {r}}(t)\wedge {\overrightarrow {r}}(t+dt)\|=\|{\overrightarrow {r}}(t)\wedge ({\overrightarrow {r}}(t)+{\overrightarrow {v}}(t)dt)\|=\|{\overrightarrow {r}}(t)\wedge {\overrightarrow {v}}(t)\|\,dt=rv\sin(\alpha )dt$ .

En conséquence : ${\frac {dA(t)}{dt}}={\frac {L}{2m}}=Constante\Rightarrow A(t)={\frac {L}{2m}}\,t$ .

Variante par la formule de Green-Riemann

En notant $(x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta )$ la position du point M à l'instant t, l'aire balayée par le rayon vecteur ${\overrightarrow {r}}$ pendant le temps t vaut d'après la formule de Green-Riemann^[4], $A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}(xy'-yx')dt$ .

En remarquant que : $x^{2}{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\frac {y}{x}}{\Bigr )}=x^{2}{\Bigl (}{\frac {y'}{x}}-{\frac {yx'}{x^{2}}}{\Bigr )}=xy'-yx'$ ,

il vient : $A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}x^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {y}{x}}\right)dt$ , soit avec les coordonnées polaires :

$A(t)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Bigl (}r^{2}\cos ^{2}\theta \times {\frac {d\tan \theta }{dt}}{\Bigr )}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Bigl (}r^{2}\cos ^{2}\theta \times {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}\times {\frac {d\theta }{dt}}{\Bigr )}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}dt$ .

Or la vitesse angulaire $w$ de la planète est la dérivée de l'angle $\theta$ soit ${\frac {d\theta }{dt}}$ , et $rw=v\sin \alpha$ .

Alors $r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}=r^{2}w=rv\sin \alpha ={\frac {L}{m}}=Constante$ , d'où finalement : $A(t)={\frac {L}{2m}}\int _{0}^{t}dt={\frac {L}{2m}}\,t$ .

En définitive cette démonstration utilise aussi l'invariabilité du moment cinétique. Il est possible aussi de démontrer l'invariabilité de l'expression $r^{2}w$ , appelée constante des aires $C$ , en calculant la dérivée seconde du vecteur ${\overrightarrow {r}}$ soit d'abord la vitesse puis l'accélération^[5]^,^[6].

Démonstration géométrique

Une autre démonstration utilise la loi d'égalité des aires des triangles ayant même base et même hauteur. On part d'un mouvement rectiligne uniforme d'un astre selon la loi de conservation de l'énergie. Soit un point O quelconque et M(t) la position de l'astre à l'instant t, le triangle reliant les points O, M(t) et M(t+Δt) a la même aire que celui reliant les points O, M(t+Δt), M(t+2Δt), et ainsi de suite car la distance de la base est toujours la même, égale à vΔt. Si maintenant le point O est un astre massif comme le Soleil, la loi de Newton indique que ce corps exerce une force centrale sur l'objet mobile qui va alors être dévié de sa trajectoire. La vitesse de ce dernier au cours de la même durée Δt va être la somme vectorielle de celle qu'il aurait eu sans l'action du Soleil et d'un vecteur dirigé vers le Soleil^[7]. Et là encore la construction géométrique montre que quelle que soit la norme de ce vecteur centripète l'aire du triangle reste égale car il y a deux parallèles. Si l'intervalle de temps Δt est décomposé en intervalles de plus en plus petits δt, alors la somme des aires de tous les triangles de plus en plus fins pointés sur O devient une bonne approximation de l'aire balayée par le rayon. On retrouve la définition du calcul infinitésimal et intégral^[8]^,^[9]^,^[10]. Au cours d'une même variation de temps Δt, l'aire balayée reste donc toujours égale.

Deuxième partie de la première loi

La deuxième partie de la première loi de Kepler dit que, dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la trajectoire d'une planète est elliptique, un foyer étant le Soleil. En réalité pour être exact, le foyer devrait être au centre de gravité du système Soleil-planète.

Mais là encore on considère comme négligeable la masse m de la planète par rapport à la masse M du Soleil, et on place le centre de gravité au centre du Soleil. La trajectoire étudiée est donc seulement celle de la planète, ce qui est une simplification par rapport à un problème à deux corps. Il s'agit de démontrer que cette trajectoire est une ellipse.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

${\frac {d{\overrightarrow {v}}}{dt}}={\overrightarrow {a}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,{\overrightarrow {u}}$ où ${\overrightarrow {u}}={\frac {\overrightarrow {r}}{r}}$ et ${\overrightarrow {a}}={\frac {\overrightarrow {F}}{m}}$ .

Autrement dit, l'intensité de la force gravitationnelle est inversement proportionnelle au carré de la distance.

Par changement de variable, on a : ${\frac {d{\overrightarrow {v}}}{d\theta }}\times {\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,{\overrightarrow {u}}$ .

Rappelons l'expression de la constante des aires $C$ :

$r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}={\frac {L}{m}}\Rightarrow {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}$ .

En combinant ces deux relations, on obtient :

${\frac {d{\overrightarrow {v}}}{d\theta }}=-{\frac {GMm}{L}}\,{\overrightarrow {u}}=-\,Constante\times {\overrightarrow {u}}$ .

D'où en intégrant par rapport à $\theta$ : ${\overrightarrow {v}}={\frac {GMm}{L}}\,{\overrightarrow {n}}+{\overrightarrow {h}}$ ,

car d'après le repère de Frenet : ${\frac {d{\overrightarrow {n}}}{dt}}=-{\overrightarrow {u}}{\frac {d\theta }{dt}}\Rightarrow {\frac {d{\overrightarrow {n}}}{d\theta }}=-{\overrightarrow {u}}$ ,

${\overrightarrow {n}}$ étant le vecteur unité perpendiculaire à ${\overrightarrow {u}}$ dans le plan de la trajectoire, dirigé dans le sens le plus proche de celui de la vitesse, et ${\overrightarrow {h}}$ étant un vecteur constant colinéaire de ${\overrightarrow {v_{0}}}$ et relié au vecteur de Runge-Lenz. Il est appelé parfois vecteur de Hamilton^[12].

Ce résultat s'appelle : théorème de Hermann, Laplace, Runge, Lenz, Hamilton. Ce théorème de cinématique date du début du XVIII^ème siècle^[13]. Dans le cas de l'attraction universelle de Newton, la différence vectorielle des vitesses pour une même variation d'angle est un vecteur dont la norme est constante et qui est dirigé vers le Soleil. C'est l'impulsion exercée par la force gravitationnelle sur la planète.

En ramenant les vecteurs vitesse à la même origine, on obtient un hodographe qui est un cercle excentré par rapport à l'origine des vitesses et dont le rayon est la norme constante du vecteur mobile. Le vecteur invariant de Hamilton part aussi de l'origine des vitesses jusqu'au centre du cercle. Il s'agit de montrer que la trajectoire étudiée est une conique : si l'origine des vitesses se situe à l'intérieur ou au centre du cercle, c'est une ellipse ou un cercle ; si elle est à l'extérieur ou sur la limite c'est une hyperbole ou une parabole^[15].

La construction géométrique commence par un polygone régulier. En faisant diminuer la variation d'angle $\Delta \theta$ , le nombre de côtés augmente et la figure tend vers un cercle. Il est possible de reconstruire point par point une ellipse en traçant la médiatrice de chaque vecteur vitesse jusqu'à l'intersection avec le rayon vecteur du cercle^[16].

Comme la médiatrice de chaque côté du polygone est aussi la bissectrice de chaque angle donc alignée avec le futur vecteur variation de vitesse, on pourrait admettre que la médiatrice de chaque vecteur vitesse devienne la tangente de la courbe esquissée au centre. Mais un autre moyen consiste à voir que pour un point quelconque de cette médiatrice la somme des distances aux deux foyers est toujours supérieure au rayon du cercle, ce qui signifie que la médiatrice est toujours extérieure à la courbe donc sur la tangente^[17].

Cette méthode peut servir de démonstration géométrique en remarquant que, pour chaque point d'intersection, la somme des distances aux deux foyers est égale au rayon du cercle. La longueur de cette corde est donc constante, ce qui définit une ellipse dont l'excentricité $e$ est le rapport entre l'invariant et le rayon du cercle.

La démonstration algébrique part de l'équation précédente qui est la somme vectorielle d'un vecteur tournant de norme constante et du vecteur invariant ${\overrightarrow {h}}$ parallèle à la vitesse initiale ${\overrightarrow {v_{0}}}$ et perpendiculaire au rayon ${\overrightarrow {r_{0}}}$ :

${\overrightarrow {v}}={\frac {GMm}{L}}{\overrightarrow {n}}+{\overrightarrow {h}}={\frac {GMm}{L}}({\overrightarrow {n}}+{\overrightarrow {e}})$ ,

${\overrightarrow {e}}$ étant aussi parallèle à ${\overrightarrow {v_{0}}}$ et de norme $e$ réel positif. En effet la vitesse doit être maximale au périgée d'après la deuxième loi. Or, cela ne peut se produire que si les deux vecteurs additionnés sont colinéaires.

Puis on effectue le produit scalaire avec ${\overrightarrow {n}}$ , sachant que $({\overrightarrow {e}},{\overrightarrow {n}})=({\overrightarrow {v_{0}}},{\overrightarrow {n}})=({\overrightarrow {r_{0}}},{\overrightarrow {r}})=\theta$ :

$v\sin \alpha ={\frac {GMm}{L}}(1+e\cos \theta )\Rightarrow {\frac {L}{mr}}={\frac {GMm}{L}}(1+e\cos \theta )\Rightarrow {\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}=r(1+e\cos \theta )$ .

Il s'ensuit : $p=r(1+e\cos \theta )$ , avec $p={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}={\frac {C^{2}}{GM}}$ , et on trouve l'expression : $r={\frac {p}{1+e\,\cos \theta }}$ , ce qui est la définition focale d'une conique en coordonnées polaires, d'excentricité $e={\frac {c}{a}}$ et de paramètre $p={\frac {b^{2}}{a}}$ , d'angle polaire ayant pour origine le périhélie, comme il est usuel de le faire^[18].

Si l'on prend l'aphélie comme origine : $r={\frac {p}{1-e\,\cos \theta }}$ .

Si l'excentricité $e$ est comprise strictement entre 0 et 1 la trajectoire est une ellipse, si elle est nulle c'est un cercle, si elle est égale à 1 c'est une parabole et si elle est supérieure strictement à 1 c'est une hyperbole. Seules les trajectoires elliptiques ou circulaires sont fermées. Les trajectoires hyperboliques ou paraboliques sont dites non liées car l'objet sort de l'attraction.

Il est possible aussi de démontrer l'ellipticité de la trajectoire d'une planète par le calcul différentiel en résolvant une équation différentielle à partir des formules de Binet^[19]^,^[20].

Une autre méthode consiste à utiliser la loi de conservation de l'énergie mécanique qui est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle^[21]^,^[22]^,^[23]^,^[24].

Troisième loi

La troisième loi de Kepler dit que le carré de la période $T\,$ varie comme le cube du demi-grand axe $a\,$ : ${\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$

Lorsque le corps central est le soleil, $GM$ s'appelle la constante héliocentrique de gravitation. Elle est connue avec une extraordinaire précision (douze chiffres significatifs) et vaut 132712440018 km³.s^-2 (alors que G n'est connue qu'avec 5 chiffres significatifs).

L'aire de l'ellipse est l'aire parcourue par le rayon au cours d'une période $T$ .

En utilisant : $A(T)=\pi ab={\frac {L}{2m}}\,T={\frac {C}{2}}\,T$ et $p={\frac {b^{2}}{a}}={\frac {C^{2}}{GM}}$ ,

puis en éliminant la constante des aires $C$ entre ces égalités, on obtient le résultat annoncé :

$C^{2}={\frac {GMb^{2}}{a}}={\frac {4\pi ^{2}a^{2}b^{2}}{T^{2}}}\Rightarrow {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$ .

Par conséquent, toutes les ellipses de même grand axe, quelle que soit leur excentricité $e\,$ , ont la même période de révolution jusqu'à la circulaire où $e=0\,$ .

Il est d'ailleurs courant de démontrer cette troisième loi dans le cas simple d'un mouvement circulaire uniforme. La vitesse angulaire du mobile est constante donc la norme de sa vitesse l'est aussi égale à $wr$ . Le vecteur vitesse reste toujours perpendiculaire au rayon donc sa composante radiale est nulle : ${\overrightarrow {v}}=wr{\overrightarrow {n}}$ . La dérivée du vecteur tournant ${\overrightarrow {n}}$ d'après le repère de Frenet est :

${\frac {d{\overrightarrow {n}}}{dt}}={\frac {d{\overrightarrow {n}}}{d\theta }}\times {\frac {d\theta }{dt}}=-w{\overrightarrow {u}}$ , donc ${\overrightarrow {a}}={\frac {d{\overrightarrow {v}}}{dt}}=-w^{2}r{\overrightarrow {u}}=-{\frac {v^{2}}{r}}{\overrightarrow {u}}$ .

Or on sait que $v={\frac {2\pi r}{T}}\Rightarrow v^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{2}}{T^{2}}}$ , et que l'accélération est ${\overrightarrow {a}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\overrightarrow {u}}$ , d'où : ${\frac {v^{2}}{r}}={\frac {4\pi ^{2}r}{T^{2}}}={\frac {GM}{r^{2}}}\Rightarrow {\frac {r^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$ .

Le seul changement dans la formule est le demi grand axe remplacé par le rayon^[25].

Notes et références

↑ Douglas C. Giancoli, Physique générale : Mécanique et thermodynamique, 1993, 568 p. (ISBN 978-2-8041-1700-9, lire en ligne), p. 152.
↑ Une autre démonstration géométrique a été donnée par Richard Feynman, durant ses cours. Il ne l'a pas publiée, mais David L. Goodstein et Judith R. Goodstein l'ont fait en 1996 (Feynman’s lost lecture: The motion of planets around the Sun, Norton, 1996), cette démonstration géométrique étant reprise par Brian Beckman en 2006 dans The Journal of Symbolic Geometry, volume 1, qui cite la référence précédente. Une traduction française de la démonstration de Feynman, avec des explications détaillées, figure dans R. Feynman, D. et J. Goodstein, Le mouvement des planètes autour du Soleil : Le cours perdu de Feynman, Cassini, 2009.
↑ Si on considère que $r(t)$ est presque égale à $r(t+dt)$ , alors le triangle infinitésimal est assimilable à une portion du cercle de rayon $r$ et son aire vaut aussi : $\pi r^{2}\times {\frac {d\theta }{2\pi }}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta ={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\,dt={\frac {1}{2}}r^{2}w\,dt$ , $d\theta$ étant l'angle infinitésimal et $w$ la vitesse angulaire. Cela vérifie l'expression : $rw=v\sin \alpha$ .
↑ On peut retrouver cette formule en calculant le produit vectoriel précédent : $\|{\overrightarrow {r}}(t)\wedge {\overrightarrow {v}}(t)\|\,dt=\|{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}x'\\y'\\0\end{pmatrix}}\|\,dt=\|{\begin{pmatrix}0\\0\\xy'-yx'\end{pmatrix}}\|\,dt=(xy'-yx')dt$
↑ Serge Robert, « Démonstration des lois de Kepler à l'aide du calcul différentiel et intégral », sur Association mathématique du Québec
↑ On fait donc deux dérivations du vecteur position ${\overrightarrow {r}}=r\cos \theta {\overrightarrow {i}}+r\sin \theta {\overrightarrow {j}}$ pour obtenir d'abord le vecteur vitesse ${\overrightarrow {v}}$ puis le vecteur accélération ${\overrightarrow {a}}$ . Mais auparavant on procède à un changement de repère en choisissant le vecteur unitaire radial ${\overrightarrow {u}}=\cos \theta {\overrightarrow {i}}+\sin \theta {\overrightarrow {j}}$ et le vecteur unitaire perpendiculaire ${\overrightarrow {n}}=-\sin \theta {\overrightarrow {i}}+\cos \theta {\overrightarrow {j}}$ . Le vecteur position s'écrit alors plus simplement ${\overrightarrow {r}}=r{\overrightarrow {u}}$ . On peut dériver les vecteurs tournants ${\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {n}}$ du repère de Frenet : ${\frac {d{\overrightarrow {u}}}{dt}}=-\sin \theta \times w{\overrightarrow {i}}+\cos \theta \times w{\overrightarrow {j}}=w{\overrightarrow {n}}$ et ${\frac {d{\overrightarrow {n}}}{dt}}=-\cos \theta \times w{\overrightarrow {i}}-\sin \theta \times w{\overrightarrow {j}}=-w{\overrightarrow {u}}$ . Ce qui permet d'écrire ${\overrightarrow {v}}={\dot {r}}{\overrightarrow {u}}+rw{\overrightarrow {n}}$ puis ${\overrightarrow {a}}={\ddot {r}}{\overrightarrow {u}}+{\dot {r}}w{\overrightarrow {n}}+{\dot {r}}w{\overrightarrow {n}}+r{\dot {w}}{\overrightarrow {n}}-rw^{2}{\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {u}}({\ddot {r}}-rw^{2})+{\overrightarrow {n}}(2{\dot {r}}w+r{\dot {w}})$ . Or une nouvelle fois on sait que le vecteur accélération est radial donc la composante sur la normale est nulle : $2{\dot {r}}w+r{\dot {w}}=0$ . En multipliant par $r$ on trouve : $2{\dot {r}}rw+r^{2}{\dot {w}}=0\Leftrightarrow {\frac {d(r^{2}w)}{dt}}=0$ , ce qui démontre l'invariabilité de $r^{2}w=r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}$ . Comme l'aire du triangle infinitésimal $dA$ vaut ${\frac {r^{2}d\theta }{2}}$ , alors l'aire balayée par le rayon en fonction du temps est : $A(t)=\int _{0}^{t}{\frac {dA}{dt}}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\frac {r^{2}d\theta }{dt}}dt={\frac {r^{2}w}{2}}\int _{0}^{t}dt={\frac {r^{2}w}{2}}\times t={\frac {C}{2}}\times t=Constante\times t$ .
↑ Ce vecteur est lié à l'accélération provenant de la force de gravité exercée par le Soleil. On considère d'abord que cette attraction est ponctuelle à intervalles de temps réguliers. Puis en réduisant la durée de chaque intervalle on se rapproche de la réalité où la force s'exerce de manière continue.
↑ L'aire balayée par le rayon est une intégrale ou la limite de la somme d'une infinité de triangles de même aire ayant un côté infinitésimal égal à $v\times dt$ .
↑ Benoît Rittaud, « La loi des aires de Kepler » [archive du 25 octobre 2018], sur VideoDimath, CNRS, 13 mars 2018 (consulté le 5 septembre 2026)
↑ « Démonstration des lois de Kepler par la construction de Newton », sur Université Côte d'Azur
↑ Jérôme Perez, « La méthode synthétique de Newton », Tangente Mag (l'aventure mathématique), n^o hors série 69,‎ janvier 2019 (lire en ligne)
↑ Frédéric Chandelier, « Newton et le problème képlerien », IREM, décembre 2021, p. 15-16
↑ Il était encore enseigné dans le cours de cosmographie de « math-élem » (terminale S actuelle) en 1960 : cf. par exemple dans le Cours de mathématiques élémentaires, Lebossé.
↑ Serge Bertorello, « Lois de Kepler et principes de Newton », sur serge.bertorello.free.fr (consulté le 5 septembre 2026)
↑ La trajectoire elliptique ou circulaire d'une planète est fermée donc le vecteur rayon fait tout le tour du cercle. Les hyperboles et les paraboles sont des trajectoires non liées donc l'angle du vecteur rayon tend vers une limite inférieure ou égale à 180° : le cosinus de cet angle est égal à -1/e.
↑ Yves Delhaye, « La leçon perdue de Feynman », sur yvesdelhaye.be, 5 avril 2022 (consulté le 5 septembre 2026)
↑ Gilbert Pasqualini, « Le mouvement des planètes autour du Soleil », sur gilbert.pasqualini.free.fr (consulté le 5 septembre 2026)
↑ Au périhélie la distance est de ${\frac {p}{1+e}}$ et à l'aphélie elle est de ${\frac {p}{1-e}}$ . La somme des deux est le grand axe : $2a={\frac {p}{1+e}}+{\frac {p}{1-e}}={\frac {p(1-e)+p(1+e)}{(1+e)(1-e)}}={\frac {2p}{1-e^{2}}}$ d'où $a={\frac {p}{1-e^{2}}}$ .
↑ Laurent Joly, « Redémontrer les lois de Kepler avec les lois de Newton », sur YouTube (consulté le 5 septembre 2026)
↑ Dans la démonstration précédente avec les deux dérivations on a trouvé la composante radiale du vecteur accélération : ${\ddot {r}}-rw^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}$ . Comme $w={\frac {C}{r^{2}}}\Rightarrow w^{2}={\frac {C^{2}}{r^{4}}}$ , elle peut s'écrire : ${\ddot {r}}-{\frac {C^{2}}{r^{3}}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}$ . C'est une équation différentielle difficile à résoudre. Pour cela on opère un changement de variable. En notant $s={\frac {1}{r}}$ on peut écrire : ${\frac {ds}{dt}}=-{\frac {1}{r^{2}}}\times {\frac {dr}{dt}}={\frac {ds}{d\theta }}\times {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {ds}{d\theta }}\times {\frac {C}{r^{2}}}\Rightarrow {\frac {dr}{dt}}=-C{\frac {ds}{d\theta }}$ , puis ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}-C{\frac {ds}{d\theta }}{\Bigr )}={\frac {d}{d\theta }}{\Bigl (}-C{\frac {ds}{d\theta }}{\Bigr )}{\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {C^{2}}{r^{2}}}\times {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}$ . On s'aperçoit qu'on peut factoriser un terme dans l'équation différentielle qui devient : $-{\frac {C^{2}}{r^{2}}}{\Bigl (}{\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s{\Bigr )}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\Rightarrow {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s={\frac {GM}{C^{2}}}=Constante$ . L'équation différentielle sous cette forme est cette fois résoluble. L'équation caractéristique du second degré admet deux solutions dans l'ensemble des complexes $i$ et $-i$ , donc quels que soient $k_{1}$ et $k_{2}$ dans l'ensemble des réels : $s=k_{1}\sin \theta +k_{2}\cos \theta +{\frac {GM}{C^{2}}}$ . Or il faut que quand $\theta$ est égal à zéro, $s$ soit maximal pour que $r$ soit minimal. Cela se vérifie si $k_{1}=0$ . De plus $k_{2}$ doit être positif pour que la fonction soit concave. D'où en revenant à la variable $r$ : ${\frac {1}{r}}=k_{2}\cos \theta +{\frac {GM}{C^{2}}}\Rightarrow {\frac {1}{r}}\times {\frac {C^{2}}{GM}}=k_{2}{\frac {C^{2}}{GM}}\cos \theta +1$ . En posant $p={\frac {C^{2}}{GM}}$ et $e=k_{2}{\frac {C^{2}}{GM}}$ on retrouve l'équation polaire d'une conique : ${\frac {p}{r}}=e\cos \theta +1\Rightarrow r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$ .
↑ Bernard Gisin, « Les trois lois de Kepler », sur juggling.ch, août 2006 (consulté le 5 septembre 2026)
↑ Bernard Gisin, « Démonstration des propriétés d'une ellipse », propriété 6, sur juggling.ch, août 2006 (consulté le 5 septembre 2026), p. 3
↑ Olivier Garnier, « Mécanique du point matériel, attraction gravitationnelle », sur olivier.granier.free.fr (consulté le 5 septembre 2026)
↑ L'énergie potentielle de gravitation $E_{p}$ est négative égale à $-{\frac {GMm}{r}}+k$ avec par convention $k=0$ . L'énergie cinétique $E_{c}$ est égale à ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ . D'après la formule de Binet : ${\overrightarrow {v}}={\dot {r}}{\overrightarrow {u}}+rw{\overrightarrow {n}}\Rightarrow v^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}w^{2}={\dot {r}}^{2}+{\frac {C^{2}}{r^{2}}}\Rightarrow E_{c}={\frac {1}{2}}m{\Bigl (}{\dot {r}}^{2}+{\frac {C^{2}}{r^{2}}}{\Bigr )}$ . L'énergie mécanique $E_{m}$ est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle et elle est constante car la force gravitationnelle est conservative d'où : $E_{m}={\frac {1}{2}}m{\Bigl (}{\dot {r}}^{2}+{\frac {C^{2}}{r^{2}}}{\Bigr )}-{\frac {GMm}{r}}=Constante$ . Comme précédemment on opère un changement de variable avec $r={\frac {1}{s}}$ et on obtient de la même façon : ${\frac {dr}{dt}}=-C{\frac {ds}{d\theta }}$ d'où : $E_{m}={\frac {1}{2}}mC^{2}{\Bigl (}{\Bigl (}{\frac {ds}{d\theta }}{\Bigr )}^{2}+s^{2}{\Bigr )}-GMms\Rightarrow {\Bigl (}{\frac {ds}{d\theta }}{\Bigr )}^{2}+s^{2}-{\frac {2GM}{C^{2}}}s=Constante$ . La dérivée d'une constante est nulle donc : $2{\frac {ds}{d\theta }}\times {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+2s{\frac {ds}{d\theta }}-{\frac {2GM}{C^{2}}}\times {\frac {ds}{d\theta }}=0\Rightarrow {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s={\frac {GM}{C^{2}}}$ , ce qui est l'équation différentielle résolue dans la note précédente. On reconnaît la formule du paramètre de l'ellipse : $p={\frac {C^{2}}{GM}}$ . Par la suite on peut trouver la formule générale de l'énergie mécanique en utilisant l'équation polaire d'une conique : $E_{m}={\frac {GMm}{2p}}(e^{2}-1)$ . Elle est négative pour une ellipse ou un cercle, nulle pour une parabole et positive pour une hyperbole. Pour une ellipse l'expression avec le demi grand axe est : $E_{m}=-{\frac {GMm}{2a}}$ car $p=a(1-e^{2})$ . On peut en déduire l'équation de la force vive : $v^{2}=GM{\Bigl (}{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}{\Bigr )}$ . Dans le cas simple d'un mouvement circulaire uniforme la vitesse est constante avec $v^{2}={\frac {GM}{r_{0}}}$ car $p=a=r=r_{0}$ , tandis que la trajectoire parabolique correspond à la vitesse limite de libération au périastre telle que $v_{l}^{2}={\frac {2GM}{r_{0}}}$ avec $p=2r_{0}$ .
↑ « Démonstration de la troisième loi de Kepler », sur Leprofduweb, 1^er décembre 2024

[1] Douglas C. Giancoli, Physique générale : Mécanique et thermodynamique, 1993, 568 p. (ISBN 978-2-8041-1700-9, lire en ligne), p. 152.

[2] Une autre démonstration géométrique a été donnée par Richard Feynman, durant ses cours. Il ne l'a pas publiée, mais David L. Goodstein et Judith R. Goodstein l'ont fait en 1996 (Feynman’s lost lecture: The motion of planets around the Sun, Norton, 1996), cette démonstration géométrique étant reprise par Brian Beckman en 2006 dans The Journal of Symbolic Geometry, volume 1, qui cite la référence précédente. Une traduction française de la démonstration de Feynman, avec des explications détaillées, figure dans R. Feynman, D. et J. Goodstein, Le mouvement des planètes autour du Soleil : Le cours perdu de Feynman, Cassini, 2009.

[3] Si on considère que $r(t)$ est presque égale à $r(t+dt)$ , alors le triangle infinitésimal est assimilable à une portion du cercle de rayon $r$ et son aire vaut aussi : $\pi r^{2}\times {\frac {d\theta }{2\pi }}={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta ={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\,dt={\frac {1}{2}}r^{2}w\,dt$ , $d\theta$ étant l'angle infinitésimal et $w$ la vitesse angulaire. Cela vérifie l'expression : $rw=v\sin \alpha$ .

[4] On peut retrouver cette formule en calculant le produit vectoriel précédent : $\|{\overrightarrow {r}}(t)\wedge {\overrightarrow {v}}(t)\|\,dt=\|{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}x'\\y'\\0\end{pmatrix}}\|\,dt=\|{\begin{pmatrix}0\\0\\xy'-yx'\end{pmatrix}}\|\,dt=(xy'-yx')dt$

[5] Serge Robert, « Démonstration des lois de Kepler à l'aide du calcul différentiel et intégral », sur Association mathématique du Québec

[6] On fait donc deux dérivations du vecteur position ${\overrightarrow {r}}=r\cos \theta {\overrightarrow {i}}+r\sin \theta {\overrightarrow {j}}$ pour obtenir d'abord le vecteur vitesse ${\overrightarrow {v}}$ puis le vecteur accélération ${\overrightarrow {a}}$ . Mais auparavant on procède à un changement de repère en choisissant le vecteur unitaire radial ${\overrightarrow {u}}=\cos \theta {\overrightarrow {i}}+\sin \theta {\overrightarrow {j}}$ et le vecteur unitaire perpendiculaire ${\overrightarrow {n}}=-\sin \theta {\overrightarrow {i}}+\cos \theta {\overrightarrow {j}}$ . Le vecteur position s'écrit alors plus simplement ${\overrightarrow {r}}=r{\overrightarrow {u}}$ . On peut dériver les vecteurs tournants ${\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {n}}$ du repère de Frenet : ${\frac {d{\overrightarrow {u}}}{dt}}=-\sin \theta \times w{\overrightarrow {i}}+\cos \theta \times w{\overrightarrow {j}}=w{\overrightarrow {n}}$ et ${\frac {d{\overrightarrow {n}}}{dt}}=-\cos \theta \times w{\overrightarrow {i}}-\sin \theta \times w{\overrightarrow {j}}=-w{\overrightarrow {u}}$ . Ce qui permet d'écrire ${\overrightarrow {v}}={\dot {r}}{\overrightarrow {u}}+rw{\overrightarrow {n}}$ puis ${\overrightarrow {a}}={\ddot {r}}{\overrightarrow {u}}+{\dot {r}}w{\overrightarrow {n}}+{\dot {r}}w{\overrightarrow {n}}+r{\dot {w}}{\overrightarrow {n}}-rw^{2}{\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {u}}({\ddot {r}}-rw^{2})+{\overrightarrow {n}}(2{\dot {r}}w+r{\dot {w}})$ . Or une nouvelle fois on sait que le vecteur accélération est radial donc la composante sur la normale est nulle : $2{\dot {r}}w+r{\dot {w}}=0$ . En multipliant par $r$ on trouve : $2{\dot {r}}rw+r^{2}{\dot {w}}=0\Leftrightarrow {\frac {d(r^{2}w)}{dt}}=0$ , ce qui démontre l'invariabilité de $r^{2}w=r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}$ . Comme l'aire du triangle infinitésimal $dA$ vaut ${\frac {r^{2}d\theta }{2}}$ , alors l'aire balayée par le rayon en fonction du temps est : $A(t)=\int _{0}^{t}{\frac {dA}{dt}}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\frac {r^{2}d\theta }{dt}}dt={\frac {r^{2}w}{2}}\int _{0}^{t}dt={\frac {r^{2}w}{2}}\times t={\frac {C}{2}}\times t=Constante\times t$ .

[7] Ce vecteur est lié à l'accélération provenant de la force de gravité exercée par le Soleil. On considère d'abord que cette attraction est ponctuelle à intervalles de temps réguliers. Puis en réduisant la durée de chaque intervalle on se rapproche de la réalité où la force s'exerce de manière continue.

[8] L'aire balayée par le rayon est une intégrale ou la limite de la somme d'une infinité de triangles de même aire ayant un côté infinitésimal égal à $v\times dt$ .

[9] Benoît Rittaud, « La loi des aires de Kepler » [archive du 25 octobre 2018], sur VideoDimath, CNRS, 13 mars 2018 (consulté le 5 septembre 2026)

[10] « Démonstration des lois de Kepler par la construction de Newton », sur Université Côte d'Azur

[11] Jérôme Perez, « La méthode synthétique de Newton », Tangente Mag (l'aventure mathématique), n^o hors série 69,‎ janvier 2019 (lire en ligne)

[12] Frédéric Chandelier, « Newton et le problème képlerien », IREM, décembre 2021, p. 15-16

[13] Il était encore enseigné dans le cours de cosmographie de « math-élem » (terminale S actuelle) en 1960 : cf. par exemple dans le Cours de mathématiques élémentaires, Lebossé.

[14] Serge Bertorello, « Lois de Kepler et principes de Newton », sur serge.bertorello.free.fr (consulté le 5 septembre 2026)

[15] La trajectoire elliptique ou circulaire d'une planète est fermée donc le vecteur rayon fait tout le tour du cercle. Les hyperboles et les paraboles sont des trajectoires non liées donc l'angle du vecteur rayon tend vers une limite inférieure ou égale à 180° : le cosinus de cet angle est égal à -1/e.

[16] Yves Delhaye, « La leçon perdue de Feynman », sur yvesdelhaye.be, 5 avril 2022 (consulté le 5 septembre 2026)

[17] Gilbert Pasqualini, « Le mouvement des planètes autour du Soleil », sur gilbert.pasqualini.free.fr (consulté le 5 septembre 2026)

[18] Au périhélie la distance est de ${\frac {p}{1+e}}$ et à l'aphélie elle est de ${\frac {p}{1-e}}$ . La somme des deux est le grand axe : $2a={\frac {p}{1+e}}+{\frac {p}{1-e}}={\frac {p(1-e)+p(1+e)}{(1+e)(1-e)}}={\frac {2p}{1-e^{2}}}$ d'où $a={\frac {p}{1-e^{2}}}$ .

[19] Laurent Joly, « Redémontrer les lois de Kepler avec les lois de Newton », sur YouTube (consulté le 5 septembre 2026)

[20] Dans la démonstration précédente avec les deux dérivations on a trouvé la composante radiale du vecteur accélération : ${\ddot {r}}-rw^{2}=-{\frac {GM}{r^{2}}}$ . Comme $w={\frac {C}{r^{2}}}\Rightarrow w^{2}={\frac {C^{2}}{r^{4}}}$ , elle peut s'écrire : ${\ddot {r}}-{\frac {C^{2}}{r^{3}}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}$ . C'est une équation différentielle difficile à résoudre. Pour cela on opère un changement de variable. En notant $s={\frac {1}{r}}$ on peut écrire : ${\frac {ds}{dt}}=-{\frac {1}{r^{2}}}\times {\frac {dr}{dt}}={\frac {ds}{d\theta }}\times {\frac {d\theta }{dt}}={\frac {ds}{d\theta }}\times {\frac {C}{r^{2}}}\Rightarrow {\frac {dr}{dt}}=-C{\frac {ds}{d\theta }}$ , puis ${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}-C{\frac {ds}{d\theta }}{\Bigr )}={\frac {d}{d\theta }}{\Bigl (}-C{\frac {ds}{d\theta }}{\Bigr )}{\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {C^{2}}{r^{2}}}\times {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}$ . On s'aperçoit qu'on peut factoriser un terme dans l'équation différentielle qui devient : $-{\frac {C^{2}}{r^{2}}}{\Bigl (}{\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s{\Bigr )}=-{\frac {GM}{r^{2}}}\Rightarrow {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s={\frac {GM}{C^{2}}}=Constante$ . L'équation différentielle sous cette forme est cette fois résoluble. L'équation caractéristique du second degré admet deux solutions dans l'ensemble des complexes $i$ et $-i$ , donc quels que soient $k_{1}$ et $k_{2}$ dans l'ensemble des réels : $s=k_{1}\sin \theta +k_{2}\cos \theta +{\frac {GM}{C^{2}}}$ . Or il faut que quand $\theta$ est égal à zéro, $s$ soit maximal pour que $r$ soit minimal. Cela se vérifie si $k_{1}=0$ . De plus $k_{2}$ doit être positif pour que la fonction soit concave. D'où en revenant à la variable $r$ : ${\frac {1}{r}}=k_{2}\cos \theta +{\frac {GM}{C^{2}}}\Rightarrow {\frac {1}{r}}\times {\frac {C^{2}}{GM}}=k_{2}{\frac {C^{2}}{GM}}\cos \theta +1$ . En posant $p={\frac {C^{2}}{GM}}$ et $e=k_{2}{\frac {C^{2}}{GM}}$ on retrouve l'équation polaire d'une conique : ${\frac {p}{r}}=e\cos \theta +1\Rightarrow r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}$ .

[21] Bernard Gisin, « Les trois lois de Kepler », sur juggling.ch, août 2006 (consulté le 5 septembre 2026)

[22] Bernard Gisin, « Démonstration des propriétés d'une ellipse », propriété 6, sur juggling.ch, août 2006 (consulté le 5 septembre 2026), p. 3

[23] Olivier Garnier, « Mécanique du point matériel, attraction gravitationnelle », sur olivier.granier.free.fr (consulté le 5 septembre 2026)

[24] L'énergie potentielle de gravitation $E_{p}$ est négative égale à $-{\frac {GMm}{r}}+k$ avec par convention $k=0$ . L'énergie cinétique $E_{c}$ est égale à ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ . D'après la formule de Binet : ${\overrightarrow {v}}={\dot {r}}{\overrightarrow {u}}+rw{\overrightarrow {n}}\Rightarrow v^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}w^{2}={\dot {r}}^{2}+{\frac {C^{2}}{r^{2}}}\Rightarrow E_{c}={\frac {1}{2}}m{\Bigl (}{\dot {r}}^{2}+{\frac {C^{2}}{r^{2}}}{\Bigr )}$ . L'énergie mécanique $E_{m}$ est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle et elle est constante car la force gravitationnelle est conservative d'où : $E_{m}={\frac {1}{2}}m{\Bigl (}{\dot {r}}^{2}+{\frac {C^{2}}{r^{2}}}{\Bigr )}-{\frac {GMm}{r}}=Constante$ . Comme précédemment on opère un changement de variable avec $r={\frac {1}{s}}$ et on obtient de la même façon : ${\frac {dr}{dt}}=-C{\frac {ds}{d\theta }}$ d'où : $E_{m}={\frac {1}{2}}mC^{2}{\Bigl (}{\Bigl (}{\frac {ds}{d\theta }}{\Bigr )}^{2}+s^{2}{\Bigr )}-GMms\Rightarrow {\Bigl (}{\frac {ds}{d\theta }}{\Bigr )}^{2}+s^{2}-{\frac {2GM}{C^{2}}}s=Constante$ . La dérivée d'une constante est nulle donc : $2{\frac {ds}{d\theta }}\times {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+2s{\frac {ds}{d\theta }}-{\frac {2GM}{C^{2}}}\times {\frac {ds}{d\theta }}=0\Rightarrow {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s={\frac {GM}{C^{2}}}$ , ce qui est l'équation différentielle résolue dans la note précédente. On reconnaît la formule du paramètre de l'ellipse : $p={\frac {C^{2}}{GM}}$ . Par la suite on peut trouver la formule générale de l'énergie mécanique en utilisant l'équation polaire d'une conique : $E_{m}={\frac {GMm}{2p}}(e^{2}-1)$ . Elle est négative pour une ellipse ou un cercle, nulle pour une parabole et positive pour une hyperbole. Pour une ellipse l'expression avec le demi grand axe est : $E_{m}=-{\frac {GMm}{2a}}$ car $p=a(1-e^{2})$ . On peut en déduire l'équation de la force vive : $v^{2}=GM{\Bigl (}{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}{\Bigr )}$ . Dans le cas simple d'un mouvement circulaire uniforme la vitesse est constante avec $v^{2}={\frac {GM}{r_{0}}}$ car $p=a=r=r_{0}$ , tandis que la trajectoire parabolique correspond à la vitesse limite de libération au périastre telle que $v_{l}^{2}={\frac {2GM}{r_{0}}}$ avec $p=2r_{0}$ .

[25] « Démonstration de la troisième loi de Kepler », sur Leprofduweb, 1^er décembre 2024

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Démonstration des lois de Kepler

Sommaire

Conventions et notations pour démontrer les trois lois de Kepler

Première partie de la première loi

Deuxième loi, loi des aires

Démonstration par le moment cinétique

Variante par la formule de Green-Riemann

Démonstration géométrique

Deuxième partie de la première loi

Troisième loi

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes