Dérivée totale

En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

Définition

Soit $f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ une fonction à plusieurs variables et $x_{1} = x_{1} (t)$ , $x_{2} = x_{2} (t), \dots, x_{n} = x_{n} (t)$ , $n$ fonctions de $t$ . Si elle existe, la dérivée totale^[1]^,^[2]^,^[3] par rapport à $t$ de la fonction composée $f (x_{1} (t), x_{2} (t), \dots, x_{n} (t))$ s'exprime à partir de l'expression de la différentielle $d f$ par :

\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \frac{d x_{1}}{d t} + \frac{\partial f}{\partial x_{2}} \frac{d x_{2}}{d t} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \frac{d x_{n}}{d t}

.

Elle est notée $\frac{d}{d t}$ et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée $\frac{\partial}{\partial t}$ .

Dérivée particulaire

Dans le cas où la fonction $f : (t, x (t), y (t), z (t)) \mapsto f (t, x (t), y (t), z (t))$ dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :

\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{d z}{d t}

,

\frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{g r a d}) f

,

où $(\vec{v} \cdot \vec{g r a d})$ est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée $\frac{D f}{D t}$ , la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire^[4], de dérivée convective^[1], de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.

Références

1 2 Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Superieur, 18 février 2013, 899 p. (ISBN 978-2-8041-7554-2, lire en ligne).
↑ Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année : L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, 8 mai 2013, 240 p. (ISBN 978-2-10-059756-7, lire en ligne).
↑ Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, 2000, 181 p. (ISBN 978-2-88074-444-1, lire en ligne).
↑ José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition : Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, 3 septembre 2014, 800 p. (ISBN 978-2-10-072189-4, lire en ligne).

Articles connexes

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[:0-1] 1 2 Pascal Febvre, Richard Taillet et Loïc Villain, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck Superieur, 18 février 2013, 899 p. (ISBN 978-2-8041-7554-2, lire en ligne).

[2] Thierry Alhalel, Laurent Chancogne et Florent Arnal, Mathématiques IUT 2e année : L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés, Dunod, 8 mai 2013, 240 p. (ISBN 978-2-10-059756-7, lire en ligne).

[3] Heinrich Matzinger, Aide-mémoire d'analyse, PPUR presses polytechniques, 2000, 181 p. (ISBN 978-2-88074-444-1, lire en ligne).

[4] José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition : Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, 3 septembre 2014, 800 p. (ISBN 978-2-10-072189-4, lire en ligne).

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