Déterminant de Cauchy

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

En algèbre linéaire, le déterminant de Cauchy est un déterminant classique, qui peut être relié à des problèmes de fractions rationnelles. Son nom est un hommage au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Le déterminant de Cauchy est un déterminant de taille $n$ et de terme général $\frac{1}{a_{i} + b_{j}}$ , où les complexes $a_{1}, \dots, a_{n}$ et $b_{1}, \dots, b_{n}$ sont tels que pour tout $i$ et $j$ , $a_{i} + b_{j}$ est non nul.

D_{n} = | \begin{matrix} \frac{1}{a_{1} + b_{1}} & \frac{1}{a_{1} + b_{2}} & \dots & \frac{1}{a_{1} + b_{n}} \\ \frac{1}{a_{2} + b_{1}} & \frac{1}{a_{2} + b_{2}} & \dots & \frac{1}{a_{2} + b_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{1}{a_{n} + b_{1}} & \frac{1}{a_{n} + b_{2}} & \dots & \frac{1}{a_{n} + b_{n}} \end{matrix} |

Lien avec un problème d'interpolation

On recherche une fraction rationnelle ayant exactement $n$ pôles simples, qui sont les $a_{i}$ , et prenant des valeurs fixées en $n$ points distincts des $a_{i}$ (ce sont les opposés des $b_{j}$ ).

Si on cherche la fraction rationnelle sous la forme

F (X) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{r_{i}}{X - a_{i}}

alors les coefficients inconnus $r_{i}$ sont solutions d'un système de taille $n$ , dont le déterminant est un déterminant de Cauchy.

Calcul du déterminant de Cauchy

D_{n} = \frac{\prod_{i < j} (a_{j} - a_{i}) \prod_{i < j} (b_{j} - b_{i})}{\prod_{i, j} (a_{i} + b_{j})} = \frac{V (a_{1}, \dots, a_{n}) V (b_{1}, \dots, b_{n})}{\prod_{i, j} (a_{i} + b_{j})}

en notant

V (α_{1}, \dots, α_{n})

le déterminant de la Matrice de Vandermonde de la famille

(α_{1}, \dots, α_{n})

.

Indications de démonstration^[1]

Multiplier toutes les colonnes par $a_{n} + b_{j}$ .
Soustraire la dernière colonne à toutes les autres.
Factoriser par les termes communs aux lignes et aux colonnes et développer par rapport à la dernière ligne.

On trouve alors la relation de récurrence

$D_{n} = \frac{1}{a_{n} + b_{n}} (\prod_{i = 1}^{n - 1} \frac{(a_{n} - a_{i}) (b_{n} - b_{i})}{(a_{n} + b_{i}) (a_{i} + b_{n})}) D_{n - 1}$

On en déduit l'expression générale de $D_{n}$ .

Détails de la démonstration

Stratégie: (valable de manière générale pour le calcul de déterminants «compliqués»)

Raisonner par récurrence sur la taille du déterminant.
Faire des opérations élémentaires sur les lignes/colonnes pour faire apparaître une ligne/colonne composée de $1$ .
Soustraire les lignes/colonnes de manière à obtenir une ligne/colonne presque composée uniquement de $0$ sauf pour un seul coefficient.
Développer par rapport à cette dernière et obtenir une relation de récurrence sur le déterminant.

On raisonne par récurrence sur la taille du déterminant $n$ .

Premièrement, faisons apparaître une ligne de $1$ en multipliant toutes les colonnes par $a_{n} + b_{j}$ .

Par $n$ -linéarité du déterminant,

$D_{n} = \frac{1}{\prod_{i = 1}^{n} (a_{n} + b_{i})} | \begin{matrix} \frac{a_{n} + b_{1}}{a_{1} + b_{1}} & \frac{a_{n} + b_{2}}{a_{1} + b_{2}} & \dots & \frac{a_{n} + b_{n}}{a_{1} + b_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{a_{n} + b_{1}}{a_{n - 1} + b_{1}} & \frac{a_{n} + b_{2}}{a_{n - 1} + b_{2}} & \dots & \frac{a_{n} + b_{n}}{a_{n - 1} + b_{n}} \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{matrix} | .$

Ensuite, pour faire apparaître des $0$ à la fin des $(n - 1)$ premières colonnes, soustrayons la dernière colonne à toutes les autres.

$\forall (i, j) \in {1, \dots, n - 1}^{2}, \frac{a_{n} + b_{j}}{a_{i} + b_{j}} - \frac{a_{n} + b_{n}}{a_{i} + b_{n}} = \frac{a_{n} b_{n} - a_{i} b_{n} - a_{n} b_{j} + a_{i} b_{j}}{(a_{i} + b_{j}) (a_{i} + b_{n})} = \frac{(a_{n} - a_{i}) (b_{n} - b_{j})}{(a_{i} + b_{j}) (a_{i} + b_{n})}$

$D_{n} = \frac{1}{\prod_{i = 1}^{n} (a_{n} + b_{i})} | \begin{matrix} \frac{(a_{n} - a_{1}) (b_{n} - b_{1})}{(a_{1} + b_{1}) (a_{1} + b_{n})} & \frac{(a_{n} - a_{1}) (b_{n} - b_{1})}{(a_{1} + b_{2}) (a_{1} + b_{n})} & \dots & \frac{(a_{n} - a_{1}) (b_{n} - b_{n - 1})}{(a_{1} + b_{n - 1}) (a_{1} + b_{n})} & \frac{a_{n} + b_{n}}{a_{1} + b_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{(a_{n} - a_{n - 1}) (b_{n} - b_{1})}{(a_{n - 1} + b_{1}) (a_{n - 1} + b_{n})} & \frac{(a_{n} - a_{n - 1}) (b_{n} - b_{1})}{(a_{n - 1} + b_{2}) (a_{n - 1} + b_{n})} & \dots & \frac{(a_{n} - a_{n - 1}) (b_{n} - b_{n - 1})}{(a_{n - 1} + b_{n - 1}) (a_{n - 1} + b_{n})} & \frac{a_{n} + b_{n}}{a_{n - 1} + b_{n}} \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix} | .$

Factorisons par les termes communs aux lignes et aux colonnes.

$D_{n} = \frac{\prod_{i = 1}^{n - 1} (a_{n} - a_{i}) \prod_{i = 1}^{n - 1} (b_{n} - b_{i})}{\prod_{i = 1}^{n} (a_{n} + b_{i}) \prod_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} + b_{n})} | \begin{matrix} \frac{1}{a_{1} + b_{1}} & \frac{1}{a_{1} + b_{2}} & \dots & \frac{1}{a_{1} + b_{n - 1}} & ★ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{1}{a_{n - 1} + b_{1}} & \frac{1}{a_{n - 1} + b_{2}} & \dots & \frac{1}{a_{n - 1} + b_{n - 1}} & ★ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix} | .$

Finalement, en développant par rapport à la dernière ligne on trouve la relation de récurrence: $D_{n} = \frac{1}{a_{n} + b_{n}} (\prod_{i = 1}^{n - 1} \frac{(a_{n} - a_{i}) (b_{n} - b_{i})}{(a_{n} + b_{i}) (a_{i} + b_{n})}) D_{n - 1}$

Comme $D_{1} = \frac{1}{a_{1} + b_{1}}$ , on obtient par récurrence $D_{n} = \frac{\prod_{i < j} (a_{j} - a_{i}) \prod_{i < j} (b_{j} - b_{i})}{\prod_{i, j} (a_{i} + b_{j})}$ .

Références

↑ Pour une autre méthode, voir X. Gourdon, Les maths en tête. Algèbre et probabilités, Ellipses, 2021 (lire en ligne), p. 150 ou J. Franchini et J.-C. Jacquens, Maths, résumé de cours, exercices et travaux dirigés corrigés : MPSI et MP2I, Paris/61-Lonrai, Ellipses, 2021, 352 p. (ISBN 978-2-340-04867-6, lire en ligne), p. 232.

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[1] Pour une autre méthode, voir X. Gourdon, Les maths en tête. Algèbre et probabilités, Ellipses, 2021 (lire en ligne), p. 150 ou J. Franchini et J.-C. Jacquens, Maths, résumé de cours, exercices et travaux dirigés corrigés : MPSI et MP2I, Paris/61-Lonrai, Ellipses, 2021, 352 p. (ISBN 978-2-340-04867-6, lire en ligne), p. 232.

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