Dilatation (géométrie)

En mathématiques, en particulier en géométrie, une dilatation est une application linéaire ou affine, d'un espace vectoriel ou affine dans lui-même, se restreignant à l'identité dans un hyperplan et à une homothétie dans une droite supplémentaire, d'où l'autre nom donné d'affinité hyperplane^[1]^,^[2].

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les transvections.

Dessin d'origine.
Résultat par dilatation de direction horizontale.

Dilatation vectorielle

Définition

Une dilatation $f$ d'un K-espace vectoriel $E$ est une affinité de base un hyperplan $H$ , et de rapport $λ \in K$ non nul.

Plus précisément, si $D = K u$ est une droite supplémentaire de $H$ dans $E$ , un vecteur $x$ de $E$ se décompose en $x_{H} + h (x) u$ suivant $H \oplus D$ ( $h$ est la forme linéaire "composante sur $u$ "). La dilatation $f$ est définie par^[3]^,^[4]:

$f (x) = x_{H} + λ h (x) u$ .

On obtient comme cas particuliers : l'identité pour $λ = 1$ , et les symétries hyperplanes (pour $λ = - 1$ ) qui sont les réflexions dans le cas euclidien où $H$ et $D$ sont orthogonaux.

Propriétés

Les dilatations sont bijectives : la réciproque de la dilatation ci-dessus est la dilatation de mêmes base et direction, et de rapport $1 / λ$ .

L'ensemble des dilatations de base et direction fixées forme un sous-groupe du groupe linéaire $G L (E)$ , isomorphe au groupe multiplicatif $K^{*}$ du corps de base, par l'application qui à $f$ fait correspondre son rapport.

En dimension finie

Le rapport $λ$ d'une dilatation n'est autre que son déterminant^[5].
Si le corps de base a au moins 3 éléments, tout automorphisme de $E$ est produit de dilatations (autrement dit, $G L (E)$ est engendré par les dilatations)^[5]^,^[4]^,^[1]^,^[2]^,^[6].
Un automorphisme de $E$ est diagonalisable si et seulement s'il est produit commutatif de dilatations.

Caractérisations

Une dilatation de $E$ autre que l'identité est caractérisée par le fait que l'ensemble de ses vecteurs invariants est un hyperplan $H$ et que l'image d'un vecteur donné $v$ n'appartenant pas à l'hyperplan se décompose en $h + λ v$ avec $λ \neq 1$ ; $λ$ est alors le rapport de la dilatation. Si $λ = 1$ , on obtient une transvection^[5].

Autrement dit, $f \neq id \in G L (E)$ est une dilatation ssi $Ker (f - id)$ est un hyperplan et $Im (f - id) \subset̸ Ker (f - id)$ ^[7].

En dimension finie, on a les autres caractérisations pour $f \neq id$ ^[6] :

$Ker (f - id)$ est un hyperplan et $det (f) \neq 1$ ;
$Ker (f - id)$ est un hyperplan et $f$ est diagonalisable.

Matrice de dilatation

Dans une base de $E$ formée de vecteurs de la base et de la direction de la dilatation, la dilatation a pour matrice une matrice du type $diag (1, 1, .., 1, λ, 1, .., 1) = I_{n} + (λ - 1) E_{i i}$ . Ces matrices sont appelées matrices élémentaires de dilatation^[6].

Dilatation affine

Une dilatation d'un espace affine $E$ est une affinité de base un hyperplan affine (donc de direction une droite vectorielle $\vec{D}$ ) et de rapport non nul ; ce sont les applications affines de partie linéaire une dilatation vectorielle, sauf dans le cas du rapport 1.

Étant donnés deux points $A$ , $A^{'}$ et un hyperplan $H$ non parallèle à la droite $(A A^{'})$ , il existe une unique dilatation de base $H$ envoyant $A$ sur $A^{'}$ ; on obtient l'image $M^{'}$ d'un point $M$ par la construction :

En dimension finie, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe affine $G A (E)$ est engendré par les dilatations^[5]^,^[4]^,^[1].

Dilatation en géométrie projective

Si l'on plonge l'espace affine $E$ dans son complété projectif^[8], en lui adjoignant un hyperplan à l'infini $H^{'}$ , on sait que l'on peut munir le complémentaire $E^{'}$ de l'hyperplan $H$ d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de $H$ dans $E$ deviennent parallèles dans $E^{'}$ et celles qui sont parallèles dans $E$ deviennent sécantes en un point de $H^{'}$ ).

À toute dilatation d'hyperplan $H$ de $E$ est alors associée une application affine de $E^{'}$ qui n'est autre qu'une homothétie.

Et si on envoie un autre hyperplan que $H$ et $H^{'}$ à l'infini, la dilatation devient une homologie non spéciale.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les homothéties, les dilatations, et les homologies non spéciales^[9]^,^[1].

Par complétion projective, cette dilatation...
... devient une homothétie,...
... ou une homologie non spéciale.

Réalisation d'une dilatation par projection

On plonge l'espace euclidien $E_{n}$ de dimension $n$ comme hyperplan d'un espace $E_{n + 1}$ de dimension $n + 1$ et on fait tourner $E_{n}$ autour d'un hyperplan $H$ (qui est de dimension $n + 1 - 2$ ), de façon à en obtenir une copie ${\tilde{E}}_{n}$ .

Tout point $M$ de $E_{n}$ a une copie $\tilde{M}$ dans ${\tilde{E}}_{n}$ , donc aussi l'image $M^{'}$ de $M$ par une dilatation de base $H$ .

On montre que la droite $(M {\tilde{M}}^{'})$ garde une direction fixe $\vec{D}$ , ce qui montre que ${\tilde{M}}^{'}$ s'obtient par projection de $M$ dans $E_{n + 1}$ (projection de base ${\tilde{E}}_{n}$ et de direction $\vec{D}$ ). Connaissant ${\tilde{M}}^{'}$ , on en déduit $M^{'}$ par rotation^[10].

Autre acception de la notion de dilatation

Articles détaillés : Plan_affine_arguésien#Homothéties-translations et Plan_affine_(structure_d'incidence)#Dilatations.

Certains auteurs désignent par "dilatation" d'un plan affine^[11] ou même d'un espace affine^[1]^,^[12]^,^[13] une bijection affine transformant une droite en une droite parallèle, ou, ce qui est équivalent, une bijection affine laissant invariant point par point l'hyperplan de l'infini^[14]. Ceci caractérise les homothéties et les translations. Les auteurs prenant cette définition des dilatations, parlent d'affinité hyperplane pour la notion développée ci-dessus, et les auteurs prenant la définition ci-dessus des dilatations parlent d'homothétie-translation pour les homothéties ou translations.

Annexes

Articles connexes

Références

1 2 3 4 5 Alain Bigard, Géométrie, cours et exercices corrigés pour le capes et l'agrégation, Masson, 1998, p. 76-80, 114-116
1 2 Jean Fresnel, Méthodes modernes de Géométrie, Hermann, 1996, p. 71,72
↑ J. Lelong-Ferrand, J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, géométrie, t. 3, Dunod université, 1977, p. 7, 44
1 2 3 Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 91-96
1 2 3 4 Claude Tisseron, Géométries affine, projective et euclidienne, Hermann, 1983, p. 71-73
1 2 3 « Générateurs du groupe linéaire »
↑ Ludovic Marquis, « Théorie des groupes et géométrie / Transvection et dilatation », p. 82
↑ François Labourie, « Géométrie affine et projective / Complétion projective d’un espace affine »
↑ Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, InterEditions, 1993, p. 40-41
↑ Voir sur cette page du site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.
↑ A. Bouvier, M. George, F. le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, 2005, p. 255
↑ Rémi Goblot, Agrégation de mathématiques, Masson, 1998, p. 11
↑ Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Editions Publibook université, 2008 (lire en ligne), p. 68-71
↑ Marcel Berger, Géométrie, t. 1, Cassini, 2016, p. 62, 145

Portail de la géométrie

[:1-1] 1 2 3 4 5 Alain Bigard, Géométrie, cours et exercices corrigés pour le capes et l'agrégation, Masson, 1998, p. 76-80, 114-116

[:4-2] 1 2 Jean Fresnel, Méthodes modernes de Géométrie, Hermann, 1996, p. 71,72

[3] J. Lelong-Ferrand, J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, géométrie, t. 3, Dunod université, 1977, p. 7, 44

[:2-4] 1 2 3 Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 91-96

[:0-5] 1 2 3 4 Claude Tisseron, Géométries affine, projective et euclidienne, Hermann, 1983, p. 71-73

[:3-6] 1 2 3 « Générateurs du groupe linéaire »

[7] Ludovic Marquis, « Théorie des groupes et géométrie / Transvection et dilatation », p. 82

[8] François Labourie, « Géométrie affine et projective / Complétion projective d’un espace affine »

[9] Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, InterEditions, 1993, p. 40-41

[10] Voir sur cette page du site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.

[11] A. Bouvier, M. George, F. le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, 2005, p. 255

[12] Rémi Goblot, Agrégation de mathématiques, Masson, 1998, p. 11

[13] Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Editions Publibook université, 2008 (lire en ligne), p. 68-71

[14] Marcel Berger, Géométrie, t. 1, Cassini, 2016, p. 62, 145

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