Transvection

En mathématiques, en particulier en géométrie, une transvection est une application linéaire ou affine, d'un espace vectoriel ou affine dans lui-même, se restreignant à l'identité dans un hyperplan et vérifiant une condition supplémentaire.

Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.

Dessin d'origine.
Résultat par transvection horizontale.

Transvection vectorielle

Définitions

Un endomorphisme d'un K-espace vectoriel $E$ est appelé une transvection s'il existe un hyperplan $H$ tel que tout vecteur a pour image lui-même s'il est dans $H$ , et un translaté de lui-même par un vecteur de $H$ sinon^[1].

Soient plus précisément $f$ un endomorphisme, $H = Ker(f - id)$ l'ensemble des vecteurs invariants, et $D = Im(f - id)$ ; d'après le théorème du rang, si $H$ est un hyperplan, $D$ est une droite^[2]. Alors $f$ est une transvection si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée^[3]^,^[4]^,^[5]^,^[6]^,^[7]:

$f$ est l'identité, ou bien $H$ est un hyperplan (base de la transvection) et la droite $D$ , direction de la transvection, est incluse dans $H$ (c'est-à-dire que pour tout $x$ de $E$ , $f (x) - x$ appartient à $H$ ).
$Ker(f - id)$ est l'espace tout entier ou un hyperplan, et $(f - id) 2 = 0$ .
Il existe une forme linéaire $h$ sur $E$ et un vecteur $u$ de $Ker(h)$ tels que pour tout $x$ de $E$ : $f (x) = x + h (x) u$ ^[8].

En dimension finie, pour $f \neq id$ , on peut rajouter les conditions^[5] :

$H$ est un hyperplan et $det f = 1$ .
$H$ est un hyperplan et $f$ est non diagonalisable.

Propriétés

Les transvections sont bijectives ( $f -1 (x) = x - h (x) u$ ).

En dimension finie, elles engendrent le groupe spécial linéaire $S L (E)$ des automorphismes de déterminant 1 de $E$ ^[3]^,^[4]^,^[9].
L'ensemble des transvections de base un hyperplan $H = Ker h$ , plus l'identité, en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif $H$ (au vecteur $u$ de $H$ , faire correspondre la transvection $x \mapsto x + h (x) u$ ).
Toute transvection est le produit de deux dilatations^[4].

Matrice de transvection

Dans une base de $E$ contenant une base de $H$ dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de $D$ , la transvection a pour matrice une matrice du type

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & λ \\ ⋱ \\ 0 & 1 \\ 1 \end{matrix}) = I_{n} + λ E_{i, j}

avec $i \neq j$ , la matrice $E i,j$ étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position $(i, j)$ .

Ces matrices $I n + λ E i,j$ sont appelées matrices élémentaires de transvection^[10] ; elles engendrent le groupe spécial linéaire $S L_{n} (K)$ .

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

(\begin{matrix} I_{n - 2} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{matrix}) = I_{n} + E_{n - 1, n} .

Exemples

La transvection de $ℝ^{2}$ associée à la matrice $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ , illustrée ci-contre, est définie par $f (x, y) = (x + 2 y, y) = (x, y) + h (x, y) U$ , où $h := (x, y) \mapsto 2 y$ et $U = (1, 0)$ (cf. la troisième caractérisation ci-dessus) ; $f$ est une transvection de base l'axe des abscisses et de direction le même axe.
Une transvection d'un espace vectoriel euclidien est entièrement définie par un vecteur normal et normé $n$ de son hyperplan $H$ de base, un vecteur normé $\vec{u}$ de sa direction, et le coefficient $λ$ défini par $f (\vec{n}) = \vec{n} + λ \vec{u}$ . On a alors : $f (\vec{x}) = \vec{x} + λ (\vec{x} . \vec{n}) \vec{u}$ ^[11]. La matrice de $f$ dans une base orthonormée dont les $n - 2$ premiers vecteurs sont dans $H$ et se terminant par $u$ et $n$ est $I_{n} + λ E_{n - 1, n}$ .

Des transvections sont utilisées pour définir la courbe de Takagi.

Transvection affine

Une transvection d'un espace affine $E$ est soit l'identité, soit une application affine de $E$ dans $E$ dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan $H$ de $E$ (base de la transvection) et telle que pour tout point $M$ le vecteur $\vec{M M^{'}}$ reste parallèle à $H$ .

Les vecteurs $\vec{M M^{'}}$ forment alors une droite vectorielle $\vec{D}$ (direction de la transvection)^[12].

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donnés deux points $A$ et $A^{'}$ tels que la droite $(A A^{'})$ est parallèle à un hyperplan $H$ , mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base $H$ envoyant $A$ sur $A^{'}$ ; on obtient l'image $M^{'}$ d'un point $M$ dans le cas où $(A M)$ est sécante à $H$ par la construction de la figure ci-contre ; dans le cas contraire, $\vec{M M^{'}} = \vec{A A^{'}}$ ^[3].

Transvection en géométrie projective

Si l'on plonge l'espace affine $E$ dans son complété projectif^[13], en lui adjoignant un hyperplan à l'infini $H^{'}$ , on sait que l'on peut munir le complémentaire $E^{'}$ de l'hyperplan $H$ d'une structure d'espace affine : les droites qui sont sécantes en un point de $H$ dans $E$ deviennent parallèles dans $E^{'}$ et celles qui sont parallèles dans $E$ deviennent sécantes en un point de $H^{'}$ .

À toute transvection d'hyperplan $H$ de $E$ est alors associée une application affine de $E^{'}$ qui n'est autre qu'une translation.

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que $H$ et $H^{'}$ à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale ou élation.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales^[14]^,^[9].

Une transvection devient...
...une translation si sa base $H$ est envoyée à l'infini.
Si inversement le point à l'infini de la direction $\vec{D}$ est ramené à distance finie, on obtient une élation.

Réalisation d'une transvection par perspective parallèle

On plonge l'espace euclidien $E_{n}$ de dimension $n$ comme hyperplan d'un espace $E_{n + 1}$ de dimension $n + 1$ et on fait tourner $E_{n}$ autour d'un hyperplan $H$ (qui est de dimension $n + 1 - 2$ ), de façon à en obtenir une copie ${\tilde{E}}_{n}$ .

Tout point $M$ de $E_{n}$ a une copie $\tilde{M}$ dans ${\tilde{E}}_{n}$ , donc aussi l'image $M^{'}$ de $M$ par une transvection de base $H$ .

On montre que la droite $(M {\tilde{M}}^{'})$ garde une direction fixe $\vec{D}$ , ce qui montre que ${\tilde{M}}^{'}$ s'obtient par projection de $M$ dans $E n +1$ (projection de base ${\tilde{E}}_{n}$ et de direction $\vec{D}$ )^[15]. Connaissant ${\tilde{M}}^{'}$ , on en déduit $M^{'}$ par rotation.

Notes et références

↑ A. Bouvier, M. George, F. le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Paris, PUF, 2005, 960 p. (ISBN 2-13-054707-9), p. 846
↑ Ceci même en dimension infinie, car un supplémentaire du noyau d'un endomorphisme est toujours isomorphe à son image.
1 2 3 Claude Tisseron, Géométries affine, projective et euclidienne, Paris, Hermann, 1983, 386 p. (ISBN 2-7056-1408-7), p. 71-73
1 2 3 Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 91-96
1 2 Ludovic Marquis, « Théorie des groupes et géométrie / Transvection et dilatation », p. 82
↑ « Exercice », sur perso.univ-rennes1.fr/marie-pierre.lebaud/agint/.
↑ Jean Fresnel, Méthodes modernes de Géométrie, Hermann, 1996, p. 71,72
↑ Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géometrie élémentaire, Paris, Hermann, 1968, 240 p. (OCLC 602892060), « III, paragraphe 3, exercice 6 ».
1 2 Alain Bigard, Géométrie, cours et exercices corrigés pour le capes et l'agrégation, Paris/Milan/Barcelone, Masson, 1998, 244 p. (ISBN 2-225-83410-5), p. 76-80, 114-116
↑ « Générateurs du groupe linéaire »
↑ « Endomorphismes des espaces euclidiens, exercice 12 »
↑ Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie : préparation au CAPES et à l'agrégation, Editions Publibook Université, 2008 (lire en ligne), p. 87-93
↑ François Labourie, « Géométrie affine et projective / Complétion projective d’un espace affine »
↑ Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, Paris, InterEditions, 1993, 189 p. (ISBN 2-7296-0495-2), p. 40-41
↑ Voir cette page sur le site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.

Voir aussi

Portail de la géométrie

[1] A. Bouvier, M. George, F. le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, Paris, PUF, 2005, 960 p. (ISBN 2-13-054707-9), p. 846

[2] Ceci même en dimension infinie, car un supplémentaire du noyau d'un endomorphisme est toujours isomorphe à son image.

[:0-3] 1 2 3 Claude Tisseron, Géométries affine, projective et euclidienne, Paris, Hermann, 1983, 386 p. (ISBN 2-7056-1408-7), p. 71-73

[:2-4] 1 2 3 Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 91-96

[:4-5] 1 2 Ludovic Marquis, « Théorie des groupes et géométrie / Transvection et dilatation », p. 82

[6] « Exercice », sur perso.univ-rennes1.fr/marie-pierre.lebaud/agint/.

[7] Jean Fresnel, Méthodes modernes de Géométrie, Hermann, 1996, p. 71,72

[8] Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géometrie élémentaire, Paris, Hermann, 1968, 240 p. (OCLC 602892060), « III, paragraphe 3, exercice 6 ».

[:1-9] 1 2 Alain Bigard, Géométrie, cours et exercices corrigés pour le capes et l'agrégation, Paris/Milan/Barcelone, Masson, 1998, 244 p. (ISBN 2-225-83410-5), p. 76-80, 114-116

[:3-10] « Générateurs du groupe linéaire »

[11] « Endomorphismes des espaces euclidiens, exercice 12 »

[12] Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie : préparation au CAPES et à l'agrégation, Editions Publibook Université, 2008 (lire en ligne), p. 87-93

[13] François Labourie, « Géométrie affine et projective / Complétion projective d’un espace affine »

[14] Jean-Claude Sidler, Géométrie projective, Paris, InterEditions, 1993, 189 p. (ISBN 2-7296-0495-2), p. 40-41

[15] Voir cette page sur le site de l'université de Modène une réalisation concrète de ce procédé.

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