Discussion:Équation de Fokker-Planck

Texte bof bof Exemple incompréhensible pour celui qui découvre .... Simplifiez, soyez pédagogique et pas savant .... L'article associé en anglais est bien meilleur ! Il suffirait de traduire ...

Remarque bof bof. Cet article voulait contenir une introduction élémentaire à cette notion, pas vraiment élémentaire, et indiquer qu'elle pouvait s'appliquer concrètement à des problèmes élémentaires de systèmes oscillants. Je ne suis pas certain que les références de l'article anglophone aux équations différentielles stochastiques, aux vecteurs de dérive, aux tenseurs de diffusion et aux processus de Wiener relèvent de la simplicité pédagogique non savante compréhensible pour celui qui les découvre... Jct 2 mai 2007 à 14:55 (CET)

"exemple" déplacé depuis l'article

Ainsi, pour l'équation du second ordre, il est commode de supposer que l'excitation est approximativement un bruit blanc, ce qui est convenable pour un système peu amorti. La méthode s'applique en particulier à l'équation possédant une force de rappel non linéaire :

$M{\ddot {X}}+B{\dot {X}}+h(X)=F(t)$

dans laquelle F(t) représente un bruit blanc gaussien de densité spectrale S₀ (densité exprimée en unités au carré par radian par seconde).

La densité de probabilité jointe de l'excursion et de la vitesse s'écrit

$p_{X{\dot {X}}}(x,{\dot {x}})=Ce^{-{B{\mathcal {E}}}/{\pi S_{0}}}$

Dans cette formule, ${\mathcal {E}}={1 \over 2}\,M\,{{\dot {x}}^{2}}\,+\,\int _{0}^{x}h(\xi )d\xi$ est l'énergie totale du système non amorti. La densité de probabilité de la vitesse reste gaussienne tandis que celle de l'excursion ne l'est plus. Elle le redevient évidemment lorsque la fonction h est linéaire.

Il est remarquable que cette solution, relativement simple, soit exacte alors qu'il n'existe rien de tel pour une excitation sinusoïdale.

D'autre part, une telle solution exacte n'existe pas si c'est l'amortissement qui est non linéaire ; dans ce cas il existe une solution exacte pour une équation plus abstraite qui fournit une approximation non linéaire meilleure que l'approximation linéaire.

Pas sur que ca soit une équation de Fokker-Planck qui soit en jeu et en l'état l'exemple n'est pas très compréhensible. Je pense qu'il vaut mieux parler de mouvement brownien c'est peut être moins simple que des pendules mais après tout c'est à cela que sert l'équation FP. godix (d) 26 juin 2008 à 16:12 (CEST)

Outre le livre cité en référence, peut-être difficilement accessible, on peut voir par exemple

[[1]]

[[2]]

L'exemple censuré correspondait, non pas à un pendule comme il est dit de manière quelque peu méprisante, mais à de nombreux systèmes oscillants non-linéaires soumis à un bruit blanc gaussien. Il est, pour moi, remarquable que des systèmes aussi compliqués puissent possèder une solution aussi simple. En ajoutant un amortissement également non-linéaire, la méthode fournit une approximation dont la qualité est généralement remarquable.

Sauf contresens, la première référence indique : « Aux environs du début du siècle, Einstein bâtit un cadre pour l'analyse du mouvement brownien, oscillations aléatoires de particules suspendues dans un milieu fluide, ces oscillations étant dues à l'agitation moléculaire posée par la théorie cinétique de la matière. Ce cadre était une forme particulière de ce qui fut connu ensuite sous le nom d'équation de Fokker-Planck. Celle-ci régit la densité de probabilité du mouvement des particules en relation avec les paramètres du système mécanique. [...] Smoluchowski fut le premier à à écrire l'équation de Fokker-Planck pour les systèmes comportant une raideur. [...] Mentionnons enfin qu'un outil fréquemment utilisé pour l'analyse des vibrations aléatoires non-linéaires est l'équation de Fokker-Planck. On peut l'écrire pour les probabilités de transition de nombreux systèmes structurels. »

c'est à cela que sert l'équation FP : comme il vient d'être rappelé, elle va bien au-delà du mouvement brownien. Je vois mal pourquoi l'application initiale constituée par le mouvement brownien doit éliminer sans appel les applications ultérieures. Je vais peut-être au-delà de mes connaissances mais je ne suis pas sûr que le problème du mouvement brownien soit moins simple que [celui] des pendules (que certains appellent pompeusement problème de l'équation différentielle stochastique du second ordre). J'ai introduit ce problème classique au bout d'un lien rouge, en pensant que d'autres apporteraient des informations plus générales sur la signification de la méthode. J'estimais qu'il n'était pas mauvais d'apprendre au lecteur d'une encyclopédie que cette équation un peu mystérieuse avait des applications très concrètes que ne soupçonnaient pas les savants. Jct (d) 27 juin 2008 à 15:44 (CEST)