Discussion:Équations de Painlevé

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Pour engendrer des citations: utiliser Citer. Sylvain Ribault (discuter) 7 septembre 2021 à 16:01 (CEST)

Refs

Beaucoup de refs n'ont ni DOI ni ISBN pour nourrir Citer. Trois exemples :

\bibitem {AblowitzClarkson} M.J.~Ablowitz and P.A.~Clarkson, \textit{Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering} (Cambridge University Press, Cambridge, 1991).

\bibitem{AHH} M.J.~Ablowitz, R.~Halburd and B.M.~Herbst, On the extension of the Painlev\'e property to difference equations, Nonlinearity {\bf 13} (2000) 889--905.

\bibitem{AKNS} M.J.~Ablowitz, D.J.~Kaup, A.C.~Newell and H.~Segur, The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems, Stud.~Appl.~Math.~{\bf 53} (1974) 249--315.

QUESTION.

Puis-je coder à la main quelque chose comme — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Robert Maurice Conte (discuter), le 7 septembre 2021 à 16:52 (CEST)

Un exemple de réponse avec alerte Robert_Maurice_Conte--Sylvain Ribault (discuter) 7 septembre 2021 à 17:24 (CEST)

Table Wiki

Irreducible representation of $S_{n}$	Dimension	Young diagram of size $n$
Trivial representation	$1$	$(n)$
Sign representation	$1$	$(1^{n})=(1,1,\dots ,1)$
Standard representation $V$	$n-1$	$(n-1,1)$
Exterior power $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n-1}{k}}$	$(n-k,1^{k})$

Recommandations

Séparer l'historique du reste

• Regrouper tous les commentaires historiques dans un seule section à la fin de l'article. Par exemple, l'essentiel du premier paragraphe de la section 1.
• "Pour ces équations, les deux invariants que Roger Liouville...": Si ces invariants sont importants, les définir ailleurs que dans l'historique.

Préciser certaines assertions

• "$\omega$ étant l'une d'elles"
• "Cette équation est à rapprocher de l'équation linéaire de Schrödinger"

Ajouter ou citer des définitions

• La confluence pourrait être définie plus explicitement.
• Singularités mobiles: définition? intérêt? Il serait bien de définir la propriété de Painlevé, sauf si elle est définie dans un autre article de Wikipédia.
• Homographies, transformations birationnelles: citer des définitions? (On peut citer Wikipédia en anglais au besoin.)

Éviter les abréviations

• EDO

Clarifier la terminologie

• "Dans l'écriture rationnelle de PVI, le coefficient...": l'expression écriture rationnelle de PVI est-elle standard? Si oui il faudrait insister dessus au moment où on écrit l'équation sous cette forme. D'ailleurs, ce serait bien que chaque version de chaque équation ait un nom précis.
• Confluence est coalescence, est-ce la même chose?

Sylvain Ribault (discuter) 22 octobre 2021 à 22:19 (CEST)

Relation entre les formes rationnelle et elliptique

La fonction de Weierstrass est dépend de deux périodes notées habituellement $\omega _{1},\omega _{2}$. Les quatre demi-périodes sont ${\frac {1}{2}}\omega _{1},{\frac {1}{2}}\omega _{2},{\frac {1}{2}}(\omega _{1}+\omega _{2}),{\frac {1}{2}}(\omega _{1}-\omega _{2})$ n'est-ce pas? Est-ce que la variable indépendante est $X=i\pi {\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}$? Est-ce que l'équation de Painlevé est supposée être invariante sous $(\omega _{1},\omega _{2})\to (\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})$ qui ne modifie pas $X$? Est-ce que la fonction $2\omega U\mapsto u$ est $\wp$? Sylvain Ribault (discuter) 29 octobre 2021 à 21:01 (CEST)

Indices de Fuchs

"Équation indicielle" est le terme communément admis. Pour lever toute ambiguïté, "indice de Fuchs" a été défini comme la différence entre la racine considérée de l'équation indicielle et l'ordre du pôle. C'est la convention universellement admise dans le présent domaine. Ainsi (théorème dû à Poincaré), -1 est toujours un indice de Fuchs. Cette convention facilite la comparaison entre les diverses familles de singularités polaires quand il y en a plusieurs. Signé avec le bouton ad hoc (essai!).--Robert Maurice Conte (discuter) 4 novembre 2021 à 18:43 (CET)

Merci pour ces explications. Comment cela marche-t-il dans l'exemple des singularités mobiles de PVI? Pour un $\theta \neq 0$ quelles sont les racines de l'équation indicielle, quel est l'ordre du pôle (pôle de quelle fonction?), et comment déduit-on les indices de Fuchs? Mêmes questions pour $\theta =0$.Sylvain Ribault (discuter) 4 novembre 2021 à 20:37 (CET)

Tout est expliqué dans un cours de Cargèse https://arxiv.org/abs/solv-int/9710020 :

"Indices" (2.22)

E'quation linéarisée (due à Darboux) = (2.18).

Singularités de u(x) : appliquer les yeux fermés ce qu'indique ce cours.

Singularités de 1/u, 1/(u-1), 1/(u-x). Section 6.6 étape 3. Ces trois homographies sont les seules à considérer.

Après homographie, = le cas de u(x).

L'exemple artificiel de 6.6 étape 3 illustre le (petit) calcul à faire.

>Pour un theta non nul quelles sont les racines de l'équation indicielle?

Ordre du pôle = 1 ( u \sim 1/(x-x_0)), indices -1 (toujours) et +1.

Calcul détaillé expliqué section 2.3. Désolé, à un moment il faut plonger les mains dans le cambouis. Robert Maurice Conte (discuter) 4 novembre 2021 à 22:09 (CET)

Merci pour les explications et la référence. En effet ce n'est pas immédiat de calculer ces indices. En fait je ne suis pas sûr de l'intérêt de les afficher. Connaissant $q,i$, peut-on écrire des propriétés simples de la solution $u$, comme son comportement asymptotique? Il ne s'agirait pas tant d'expliquer comment on calcule ces indices, que de dire ce qu'on en fait et pourquoi ils nous intéressent. Sylvain Ribault (discuter) 6 novembre 2021 à 14:26 (CET)

Pourquoi rendre implicite ce qui peut s'écrire explicitement?

Pour corriger une erreur : omega-omega', omega+omega' différaient d'une période donc étaient égales. --Robert Maurice Conte (discuter) 6 novembre 2021 à 13:17 (CET)

OK, merci d'avoir corrigé l'erreur que j'avais introduite, mais il fallait le faire sous forme explicite à mon avis. Sylvain Ribault (discuter) 6 novembre 2021 à 13:41 (CET)

Rappel des définitions classiques (uniforme, multiforme, critique)

Il est inutile d'introduire les termes "univalué" et "multivalué", une traduction directe de l'anglais, que personne dans le présent domaine n'utilise. En effet tous les auteurs classiques francophones (y compris les Japonais contemporains) emploient "uniforme" et "multiforme". L'introduction écrite par Painlevé pour ses Leçons de Stockholm : [Introduction page 6, comparaison des lignes 5 et 13, note (1)] contient toutes les définitions requises, j'ai donc modifié la section "Propriété de Painlevé". --Robert Maurice Conte (discuter) 13 novembre 2021 à 12:24 (CET)

OK, mais je ne comprends pas la définition d'un point critique. Elle diffère apparemment de la définition standard basée sur la dérivabilité. Sylvain Ribault (discuter) 13 novembre 2021 à 22:11 (CET)