Discussion:Constante limite de Laplace

Lien entre la constante limite-de-Laplace L = A 033259 et a = A085984  := 1.199 678...

--Guerinsylvie (discuter) 17 mars 2019 à 17:26 (CET) : Juste pour préciser ce qui est indiqué dans l'article :

Bonjour,

Pouvez vous préciser ce qu'est ce rayon de gorge du waist = (L/a)R = 0.552.R ???? Merci ! Robert FERREOL (discuter) 24 juin 2025 à 18:13 (CEST)

L = max t/ch(t) pour une valeur de t égale à a ,

soit après un petit calcul,

$L={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}$

donc

$L={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}={\frac {a+1}{exp(a)}}=(a+1)e^{-a}$

et aussi

$L^{2}={\frac {a^{2}}{ch^{2}(a)}}={\frac {1}{sh^{2}(a)}}={\frac {a^{2}-1}{1}}=a^{2}-1$

donc au total,

$L=(a+1)e^{-a}=(a-1)e^{a}=ach(a)-sh(a)={\frac {a}{ch(a)}}={\frac {1}{sh(a)}}$

[et bien sûr, en passant au gudermannien, $sh(a)=tan(\alpha )$,(ou bien $L=1/sh(a)=tan(\beta )$), on aura alpha = 56° 28' = 0.9855 rd ; ainsi que son complémentaire beta ~33°33'~0.5853 rd]

Bien sûr, d'autres fois , on trouvera $1/L=1.50888...={\frac {ch(a)}{a}}=...$ et $1/a=0.833557...$ ; et $L/a=0.552434$ ; $a/L=1.801170$

Cette ubiquitous value de L ( donc de a ) la rend courante dans d'autres situations. Un des exemples est : en capillarité ( tension superficielle ) , dans l'expérience de la caténoïde , la distance maximale d entre anneaux de diamètre D est telle que d/D = L ( cf Mathworld capillarité ), le rayon de gorge du waist = (L/a)R = 0.552.R , ce qui permet de construire la figure du diabolo de Laplace-Plateau, AA'BB' , les diagonales AB' et BA' étant tangentes à la méridienne de la caténoïde , as usual.

Je ne vois pas ce que la règle de L'Hôpital vient faire dans une recherche d'extremum.

${\frac {t}{\cosh t}}$ atteint son max, $L={\frac {a}{\cosh a}}$, pour $\cosh a=a\sinh a$, donc (évidemment) $L={\frac {1}{\sinh a}}$, etc.

Anne, 21 h 40

--Guerinsylvie (discuter) 25 juillet 2019 à 16:54 (CEST)Bonjour Anne, I agree with you ; je ne sais comment appeler cette astuce de term-S : au point a du maximum L, f'/g' = f/ g = L_max ( en fait on dérive logarithmiquement f'/f - g'/g , et puis on ré-agence les termes, on appelait cela "astuce de L'Hopital") ( mais je m'en fous ). Soit! Votre calcul est moins compact ; mais ok, c'est tellement simple.

Démonstration du rayon de convergence

J'essaie de comprendre la démonstration de Hermite.

D'après le théorème de Rouché (?), La condition de convergence de la série est $\left\vert {\frac {\varepsilon \sin E}{E-M}}\right\vert <1$ pour tout $E=M+Re^{it}$. ce qui donne $|\varepsilon |<{\frac {R}{|\sin(M+Re^{it})|}}\leqslant {\frac {R}{\cosh(R\sin t)}}$ ; en prenant $t=\pi /2$ on obtient $|\varepsilon |<{\frac {R}{\cosh(R)}}\leqslant L$. reste à savoir d'où vient la propriété de convergenvce du début, et ceci ne montre qu'une majoration du rayon de convergence.

Robert FERREOL (discuter) 24 juin 2025 à 08:33 (CEST)