Discussion:Ellipse de sûreté
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démonstration modifier
--Guerinsylvie (d) 4 septembre 2008 à 14:24 (CEST) : j'ai cru comprendre que les démonstrations ne sont pas essentielles dans la WP. Soit ! je la retranscris ici, pour les curieuses de mon genre.
Soit T, B et H comme définis dans le corps de l'article.
Tout missile balistique M est issu de B avec une énergie mécanique donnée, donc se situe sur une ellipse de grand axe 2a donné (Emécanique = -/2a : voir mouvement keplerien). Donc, le deuxième foyer F de cette ellipse de Kepler est à une distance de B égale à : BF = 2a - TB = 2a - R
Le même raisonnement tient pour Mo s'il doit être atteint : MoF = 2a - TMo .
F ne peut se trouver qu'à l'intersection du cercle C(B) (de centre B, de rayon 2a - R) et du cercle C(Mo) (de centre Mo, de rayon 2a-TMo).
Le cas-limite du point P ( sur la courbe de sureté, par conséquent) est celui où les deux cercles se tangentent (règle de Hudde de la racine double (de 1620?)) : alors P, F et B sont en ligne droite (on dit : PB est corde focale de la trajectoire).
Il en résulte que : PB = r1 +r2 = 2a - R + 2a -PT : d'où PB +PT = 4a -2.OH = 2a : CQFD.
(Cf Brousse, cours de mécanique rationnelle).
Inspiré de Torricelli_Clairaut, voici un peu plus rapide, et plus visuel(il est vrai qu'une animation maple serait bien venue, si je savais faire) :
Soit Q l'intersection des tangentes BQ et MoQ. La tangente caractéristique QMo est parallèle à i.Vo (selon Clairaut-Hudde)(ici sqrt(-1)=i) ; donc BMo est corde focale. Et cette fois, l'ellipse est retrouvée comme antipodaire de cercle, via le triangle orthoptique construit sur la corde BMo. Donc tout est bien similaire au raisonnement tenu pour la parabole, qui n'est que le cas où R tend vers l'infini( pour dire vite).
- --Guerinsylvie (d) 11 août 2010 à 17:30 (CEST):- changement de politique de la WP : il paraît que maintenant on veut les démonstrations, j'ai donc replacé celle-ci dans le corps de l'article, mais qd même pour ne pas alourdir : dans une boîte ! Je ne me souvenais même plus avoir rédigé celle-ci : m'ouais, c'est ~pareil.