Discussion:Ensemble de Vitali

Propriété de Baire

Je suis un peu perplexe devant l'ajout d'Anne du 5 décembre dernier, que je remarque maintenant : [1]. Certes l'énoncé figure bien dans la source donnée, mais le wikilien ne mène pas du tout à la définition (assez technique) de propriété de Baire, que j'ai trouvée dans la source (disponible sur Google Books par extraits), p. 90. Sans cette définition, c'est assez cryptique non ? Je n'y touche pas pour l'instant, fais la remarque, si pas d'écho je prendrai peut-être une initiative, ou pas. Touriste (d) 31 janvier 2012 à 13:02

Réparé. Anne, 23/2/2016

Réécriture de l'existence de V

Le langage du paragraphe est à mon goût incompréhensible. Je n'ai jamais entendu le mot « rencontrer » en théorie des ensembles. Avec le formalisme qui était enseigné autrefois en taupe en utilisant la notion de groupe quotient, les choses peuvent être exprimées de manière précise et concise (à la mode Bourbaki) et non verbeuse. C'est pourquoi j'ai ajouté la note pour les gens qui maîtrisent encore les mathématiques de grand papa en taupe. La notion d'ensemble quotient est maintenant me semble t-il hors programme en taupe. Merci de me corriger si je me trompe. Malosse ^{[Un problème de météo ou de planeur?]} 29 avril 2017 à 06:07 (CEST)

Effectivement la notion d’ensemble quotient a disparue des classes préparatoires aux grandes écoles. J’ai appris à faire proprement Vitali avant hier, en allant au TD d’intégration de L3 maths de mon ami et coauteur Jean Martin Paoli à l’universita Pasquale Paoli en Corse à Corte. Je pense que les étudiants de L3 maths d’aujourd’hui auraient du mal à lire la preuve concise à la Bourbaki de l’existence de l’ensemble V (comme Vitali ) non mesurable pour la tribu de Lebesgue. Peut être quelque chose de très verbeux ( voir la page de HB ) serait beaucoup plus utile aux étudiants en mathématiques. Né en 1958 ( 58 comme la Nièvre ) j’ai appris les relations d’équivalence en cinquième avec Gilbert Walusinski au lycée de Saint Cloud l’année 1970 1971. C’était l’époque dite des maths modernes. J’ai suivi le cours d’intégration de Paul Malliavin à Jussieu université Paris VI l’année 1979-1980. J’aimais bien quand il parlait du sandwich: A est mesurable Lebesgue si pour tout epsilon on peut trouver un compact K contenu dans A et un ouvert O contenant A tel que la mesure de la différence O/K soit plus petite epsilon ( bien verbeux). Bref je suis un dinosaure, en plus je suis maître de conférence en informatique. Je serais curieux de savoir si on enseigne encore la théorie de la mesure Lebesgue en France et à quel niveau. Bon je repasse en dessous pour parler de la dichotomie E0 d’Harrington Kechris Louveau. Pierre Joseph Simonnet (discuter) 18 février 2023 à 06:05 (CET)

E0

<\math> E_0<\math> Pierre Joseph Simonnet (discuter) 18 février 2023 à 05:30 (CET)

La relation d’équivalence E0 est définie sur l’ensemble de Cantor des suites infinies de 0 et de 1, c’est à dire les parties d’entiers naturels ( via la fonction caractéristique, je suppose que vous êtes pas brouwerien comme Henri Lombardi ou Thierry Coquand).

L’ensemble de Cantor est un espace métrique compact. Deux mots infinis sont E0 équivalents s’ils sont égaux à partir d’un certain rang. Je parle comme dans le livre mots infinis de Dominique Perrin et Jean Éric Pin. En informatique théorique on utilise des automates finis sur les mots infinis pour montrer que des théories monadiques sont décidables.

La relation d’équivalence E0 est borelienne, et même réunion dénombrable de compacts. Chaque classe d’équivalence est dénombrable. Et on à la puissance du continu classes $2^Aleph_0$. Si on choisit ( par l’axiome du choix, $^{\aleph_0}$ choix ) un point dans chaque classe on obtient un ensemble T ( comme transversale ) qui n’est pas mesurable pour la mesure de Lebesgue ( pile ou face) et qui n’a pas la propriété de Baire

( on ne peut pas trouver d’ouvert U tel que la différence symétrique de T et de U soit maigre

( contenue dans une réunion dénombrable de fermé d’intérieur vide). Comme dirait Pierre Cartier c’est essentiellement la même chose que Vitali.

On a le joli théorème de Léo Harrington, Alexander Kechris et Alain Louveau.

Th:

Soit P un espace polonais ( en gros un métrique complet séparable ), E une relation d’équivalence borelienne sur P alors on a la dichotomie :

i) soit E est smooth ( réductible à l’égalité par une fonction f borelienne) xEy ssi f(x)=f(y))

ii) Soit on peut injecter continuement E0 dans E.

Dans le cas ii) E donnera des ensembles de Vitali.

pour référence on peut prendre le livre récent de Gilles Godefroy « méthodes de Baire » Pierre Joseph Simonnet (discuter) 18 février 2023 à 06:45 (CET)