Discussion:Hypothèse de Riemann

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En 18 Mars 2005 Fayez Fok Al Adah, le président du societé syrienne de cosmologie, a proposé une simple preuve de cette conjecture sur le site de "The general science Journal". [(Examiner la preuve)].

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Outre le fait que le lien ne marche pas, des « preuves simples » (mais fausses) de l'hypothèse de Riemann, il en sort tous les premiers jeudis du mois. Jfheche 25 jun 2005 à 12:33 (CEST)

Pour moi le lien fonctionne. Vargenau 25 jun 2005 à 14:23 (CEST)

J'ai en effet réussi à obtenir un fichier non corrompu après de nombreux essais. Il n'en reste pas moins que tant que je n'aurai pas vu les téoriciens du deuxième étage courrir dans tous les sens en hurlant que l'hypothèse de Riemann a été démontrée, je resterai des plus septiques. Jfheche 25 jun 2005 à 16:54 (CEST)

Sans oublier que je présente à M. Fayez Fok Al Adah toutes mes félicitations pour le million de dollars qui récompense son travail ([1]). Jfheche 25 jun 2005 à 17:02 (CEST)

De Branges

Salle a écrit : « célèbre? ça reste à voir »

Il se trouve que cet individu a déja démontré la conjecture de Bieberbach en 1985, ce qui n'est pas anodin, et ne le range pas parmi les « mathématiciens en marge du système universitaire traditionnel » ...

Zweistein 13 mai 2006 à 16:56 (CEST)

Je reviens du Wiki anglais, où j'ai écrit un petit article sur Sze Kui Ng... et un dénommé Cronholm a cru bon approuver la suppression de mon article... Qu'en pensez-vous? Il paraî que c'est ici seulement que Sze Kui Ng a le droit d'être cité. Nous nous retrouvons donc aux temps de Gallilée... Merci de vos réactions.

je vais répondre comme sur en : pourquoi faudrait-il spécialement citer cet exemple ? Qu'a-t-il de remarquable ? y a-t-il des sources extérieures attestant de l'importance de ce travail-ci, par rapport aux nombreux autres ? Sinon, il faut supprimer. Peps 20 juillet 2007 à 18:43 (CEST)

Il reste évidemment que la communication de papiers inconnus mais non moins intéressants est une résolution à prendre à l'égard de portails comme Wikipédia lorsque par pur hasard on en prend connaissance. On a souligné ces dernières années des parallèles intéressants entre la théorie des noeuds et la théorie des nombres. Connaissez-vous d'autres regards sur l'hypothèse de Riemann, le plus grand mystère à ce jour de toutes les mathématiques, à travers le prisme de la théorie des noeuds?

L.S.

une histoire de sous, ce ne sont pas les premiers...

je ne crois pas que clay merite une publicite ici. la science n'appartient a personne (ou a tout le monde), et je trouve ca plutot ridicule de distribuer les "bons points". d'autant plus que le mathematicien qui trouvera la reponse n'en aura sans doutes rien a faire de cette recompense, qu'il ne reclamera pas. si on pouvait virer la reference au prix clay dans l'introduction, ca ameliorerai l'article et eviterai d'amoindrir Hilbert. ce resultat vaudrait bien plus que un million de dollars, il vaudrait plus que de l'argent. si vous voulez parler des prix clay and co, il faudrai faire un article special la dessus.

cf Problèmes du prix du millénaire. Quant à la pertinence de la mention, qu'on aime ou pas, il faut reconnaître que c'est une des raisons qui font que cette hypothèse a une certaine notoriété auprès du "grand public". Peps (d) 21 novembre 2007 à 14:48 (CET)

pourquoi la preuve?

une petite question de debutant: pourquoi la preuve est elle necessaire pour pouvoir par exemple obtenir un algorithme efficace de test de primalité, la question est pourquoi ne pas supposer simplement l'hypothese vraie et voir ce que ca donne?

Je n'ai pas trouvé cette affirmation dans l'article. Où est-elle ? En fait, le test de primalité de Miller-Rabin, qui est a priori probabiliste polynomial, devient déterministe polynomial sous l'hypothèse de Riemann généralisée (GRH). Car, toujours sous GRH, un nombre qui est pseudo-premier en un nombre de bases qui excède une constante explicite, de l'ordre du log du nombre à tester, est certifié premier. Je viens d'ailleurs de voir que la même explication figure sur test de primalité et test de primalité de Miller-Rabin ; voir aussi par exemple le livre de Neal Koblitz sur la cryptographie. Donc, le test existe indépendamment de GRH, c'est juste son efficacité dont on prouve qu'elle est meilleure sous GRH. Salle (d) 9 février 2008 à 19:28 (CET)

Elle n'y est pas ce n'est qu'une question personnelle, merci (Vous pourriez ptet ajouter cette expliquation a l'article...)

Hadamard et de la vallée poussin

ce passage doit être amélioré car tel qu'il est exprimé il est faux: ce n'est que Landau en 1903 qui montrera que le théorème des nombres premiers est équivalent à la non annulaton de zeta sur la droite Re(s)=1. (hadamard avait déjà montré que zeta ne s'annulait pas sur re(s)=1 en 1892).Claudeh5 (d) 5 mars 2008 à 20:24 (CET)

Réécriture de l'article

Il provint d'une traduction d'une très vieille version de Wen ; je propose de le refaire (à partir de la version actuelle) si personne ne veut s'y coller. Un bandeau à apposer ? --Dfeldmann (d) 2 novembre 2009 à 14:05 (CET)

Voilà qui est fait (le bandeau) ; merci. J'envisage tout bêtement de traduire l'article entier (il est fort bien fait), même si cela doit créer des redondances : le lecteur pressé , consultant la table des matières, devrait rapidement voir ce qui l'intéresse, et inversement, la plupart des gens ont un problème avec le prolongement analytique, qui n'est pas nécessaire en fait pour énoncer l'hypothèse, grace à la fonction eta (=1-1/2^s+1/3^s...)--Dfeldmann (d) 2 novembre 2009 à 14:18 (CET)

Bonjour. Je ne sais pas si c'est l'endroit, mais puisque vous voulez améliorer cette page, je souhaite évoquer à nouveau la question des Problèmes Clay. Je suis entièrement d'accord avec le fait qu'il n'y a aucune raison pour en faire la publicité ici. Des voix, peu nombreuses et bien tardives malheureusement, se sont élevées dans la communauté mathématique pour dénoncer ces prix Clay (voir un article de Vershik). Si Wikipedia est une encyclopédie pourquoi devrait-elle faire écho à ce mécénat aux grands effets de manche? L'argument qui consiste à dire que cela attire l'attention du grand public est méprisable. Le grand public est attiré par beaucoup de choses, et ici il s'agit d'une affaire de "l'honneur de l'esprit humain" pour citer Jacobi, affaire qui, au contraire, doit être le prétexte à illustrer tout sauf la corruption du temps.--Gottfried59 (d) 18 novembre 2009 à 21:38 (CET)

C'est pas l'endroit : voir le Bistro qui va bien (le Thé). Je crois que ça vaut même pas la peine de commenter. Quand bien même vous seriez Perelman lui-même, on ne vous "autoriserait" pas à supprimer cette référence (qui figure, bien sûr, dans toutes les Wikipédia sur la question). Lire les chartes pertinentes pour comprendre pourquoi : essentiellement pour les mêmes raisons que serait éliminé un mathématicien, fut-il génial, qui déclarerait que l'hypothèse n'est pas très intéressante, ou avait déjà été formulée par Euler (sauf, pour ce dernier point, s'il avait des sources, et je suis même pas sûr que des sources primaires suffiraient  : après tout, ce serait une bombe, et les découvertes , même historiques, n'ont pas leur place ici)...--Dfeldmann (d) 18 novembre 2009 à 22:46 (CET)

Vous êtes bien sûr de vous. Le fait que cela figure dans toutes les Wikipédia est pour moi un non-argument. Et s'il venait à l'idée d'une multinationale de sodas de tripler la mise? faudrait aussi en faire la publicité? Et je ne vois pas en quoi ce n'est pas l'endroit, puisque ce sujet avait été déjà abordé en 2007 sur cette page de discussion, par une voix solitaire que j'approuve entièrement. Vous avez déclaré votre intention d'améliorer cette page sur l'Hypothèse de Riemann, une amélioration serait de supprimer toute référence à Clay! Si j'ai chez moi une encyclopédie sur un support papier, je ne tiens pas à constater que j'ai entre les mains un relai d'opérations de communication, dont les intérêts ne sont pas clairs, et qui illustrent plutôt un déclin de l'exigence morale des mathématiciens, déclin déjà commenté et analysé par Grothendieck lorsqu'il avait refusé le prix Crafoord, en 1988. Il est particulièrement choquant pour moi de voir citer le Prix de 1,000,000 USD dès le préambule de cette article. Pauvre Bernhard! il doit se retourner dans sa tombe.--Gottfried59 (d) 18 novembre 2009 à 23:45 (CET)

Non-argument? Remarquer que, dans toutes les langues, tou el monde a abouti au même consensus ne prouverait rien ? Je ne suis pas sûr de moi (enfin si, mais pas sur ce point), mais je connais assez bien lers règles du jeu en usage ici. Lisez ce que j'écris. Vos chances de participer à cette encyclopédie sont en baisse sérieuse, si vous n'en tenez pas compte : cette discussion serait-elle un prétexte pour régler vos comptes ? Combien de mathématiciens ont refusé la médaille Fields (et qui êtes -vous pour jeter la pierre à ceux qui estiment ne pas avoir à cracher sur cet argent?) Clay existe, on ne lui fait pas de publicité supérieure à son importance, que je sache (et demandez-vous plutôt quelles étaient ses motoivations). Oh ,et puis après tout, c'est pas mon problème : voyons plutôt vos contributions à WP : bon, c'est tout à fait acceptable, pour un début. Pourquoi ne pas vous en tenir à ce genre d'interventions-là? Et, j'insiste, allez plutôt en parler sur le Thé (voire au Bistro) si vous voulez d'autres avis que le mien (mais je serais surpris de diverger du consensus...)--Dfeldmann (d) 19 novembre 2009 à 06:36 (CET)

J'ai du mal à comprendre que l'on avance le conformisme comme un argument. Le conformisme est un non-argument, je n'ai pas dit autre chose. Les règles du jeu dans une entreprise coopérative ne sont pas inscrites dans le marbre. Mes chances de participer dépendent beaucoup moins de vous que de moi, si l'on peut qualifier cela de chances: il s'agit plutôt de mon envie de contribuer. Là où je suis intervenu la situation était par endroit catastrophique: énoncés faux ou au minimum incomplets et approximatifs, des démonstrations complètement fausses, et encore bien des imperfections que j'ai laissées, on ne peut pas toujours sauver le Monde. Alors c'était plutôt une corvée que je me suis assignée pour éviter d'avoir ainsi en permanence sur internet une source de mauvaise qualité. Je lis ce que vous écrivez, mais vous, lisez-vous ce que j'écris? J'ai sous les yeux le préambule de l'article. Quelques lignes et immédiatement une référence à Clay. Je dis que cela je l'abhorre. Et vous me demandez si j'ai des comptes à régler! C'est pas sérieux! Et comparer les Clay aux médailles Fields ne l'est pas plus. D'ailleurs ce sont uniquement les 10^6 USD qui font que l'on parle des prix Clay. Perelman a refusé la médaille Fields, mais je ne sais pas s'il va refuser le prix Clay. Il ne s'est pas prononcé là-dessus, bien que son attitude semble indiquer que c'est son intention. Il y a une différence énorme entre être récompensé a posteriori par la communauté des savants, et recevoir de l'argent comme un chasseur de primes. Je vais aller jeter un oeil sur les endroits que vous m'indiquez. Pas pour m'y informer sur un quelconque consensus dans l'intention d'y faire allégeance, vous pouvez me croire.--Gottfried59 (d) 19 novembre 2009 à 08:36 (CET)

Bonjour,

pour moi cette information est importante vis à vis du sujet, et doit donc être visible en introduction de l'article (et, éventuellement, moins détaillée, avec un paragraphe à ce sujet en dessous). Ce n'est en rien de la publicité. Cordialement, Freewol (d) 19 novembre 2009 à 11:02 (CET)

La personne qui fait face à son écran d'ordinateur ou autre, affichant l'article sur l'hypothèse de Riemann n'a pas besoin d'être incitée à s'y intéresser, puisqu'elle est déjà là! Elle est venue sur wikipedia pour s'informer sur l'hypothèse de Riemann, pas pour y apprendre que quelqu'un a décidé, 141 ans après l'énoncé de la conjecture, 134 années après la mort de Riemann que cela lui plaisait d'offrir une prime à qui résoudrait le problème. Je veux bien une petite section mineure en bas d'article du style "À-côtés anecdotiques". Mais que l'on s'empresse de mentionner Clay dès le préambule, non, ce n'est pas le rôle d'une encyclopédie.--Gottfried59 (d) 19 novembre 2009 à 15:48 (CET)

C'est votre opinion, qui est pour le moment minoritaire. Vous pouvez essayer de modifier l'article mais vous serez reverté. Cordialement, Freewol (d) 19 novembre 2009 à 16:13 (CET)

PS : en revanche il serait intéressant de mentionner la polémique qui entoure ce prix ! Puisque vous semblez disposer de sources à ce sujet, un paragraphe à ce propos me semblerait très utile.

Bonjour, eh bien, je peux donc proposer que l'article, s'il devait malgré tout contenir une référence au Prix Clay, fasse aussi mention de et renvoie à l'article du mathématicien russe Vershik, paru en janvier 2007 dans les Notices de l'AMS, la revue des adhérents de la société américaine des mathématiciens.--Gottfried59 (d) 19 novembre 2009 à 16:33 (CET)

Cet article a sa place sur l'article du Prix Clay lui-même, pas ici. -- Bokken | 木刀 19 novembre 2009 à 19:16 (CET)

Plutôt que de vous empoigner sur le prix Clay (qui est aussi distribué sous les auspices de l'Académie des sciences de Paris), vous devriez vous pencher plus sérieusement à l'article lui-même. J'ai mis dans histoire de la fonction zêta de Riemann des éléments.Claude le pénible (d) 21 novembre 2009 à 14:11 (CET)

L'article en question me semble contenir tout ce qu'on veut sur l'hypothèse de Riemann; y en a-t-il besoin d'un autre?

Bonjour. La version allemande de l'article sur l'hypothèse de Riemann comporte (ce-jour) environ 16900 caractères. Le Prix Clay n'est évoqué qu'aux alentours du 9900ème caractère, il faut donc parcourir presque 60% de l'article pour en entendre parler pour la première fois, dans une section "Histoire" qui comporte bien d'autres éléments, avant et après. Matière à méditer et modèle à suivre. Cordialement.--Gottfried59 (d) 25 novembre 2009 à 11:27 (CET)

mon avis

Cet article est indigent. Il mélange allègrement des choses qui n'ont pas grand rapport entre elles (la formule explicite de pi(x)avec les zéros n'a rien à voir avec l'hypothèse de Riemann) et passe sous silence absolue les tenants et aboutissants de cette question: les critères équivalents, les conséquences, ...Claudeh5 (d) 28 novembre 2009 à 09:11 (CET)

Ben oui, d'où ma proposition de le réécrire. Mais j'ai tout juste commencé :-( Je pensais (re)partir de la version anglaiose actuelle ; suscite-t-elle également ton ire ?--Dfeldmann (d) 28 novembre 2009 à 09:24 (CET)

l'article anglais contient tout et n'importe quoi. Depuis l'hypothèse de Lindelöf, la fonction sommatoire de Möbius, quelques critères, une formule sur pi(x) en passant par la région sans zéro, jusqu'aux calculs sur l'hypothèse de Riemann. Bref, tout ceci devrait en fait être mis dans l'article fonction zeta de riemann et pas dans l'hypothèse de riemann. Il faut s'en tenir strictement au sujet ! l'article anglais, c'est n'importe quoi mis avec n'importe quoi.Claudeh5 (d) 28 novembre 2009 à 09:58 (CET)

Comme il a été dit plus haut, l'article sur l'histoire de la fonction zêta de Riemann contient a peu près tout ce qu'on peut rêver de dire sur l'hypothèse de Riemann elle-même à part peut-être un renvoi à un article sur les conjectures de Weil en sus de celui sur l'hypothèse de Riemann généralisée (qui, lui, pourrait être amélioré)

Sur l'hypothèse de Riemann, il y a encore quelques petits manques (le critère de Riesz, celui de Hardy, le critère sur les nombres de Liouville, le critère de Robin, ...)Claudeh5 (d) 28 novembre 2009 à 16:42 (CET)

En y repensant, je proteste quand même énergiquement sur cette affirmation selon laquelle la formule de Riemann pour pi(x) (que j'ai d'ailleurs mis en boîte déroulante) ne devrait pas être là, alors que c'est justement lors de son exposé de cette formule qu'il mentionne en passant la conjecture (et remarque, en effet, qu'il n'en a pas besoin pour son propos). Plus généralement, es-tu à peu près d'accord pour les deux premiers paragraphes (ceux auxquels je me suis attelé jusqu'ici) tels qu'ils sont (quitte à les améliorer), ou vois-tu un plan tout-àfzait différent (et non, je ne crois pas qu'il faille supprimer cet article, ou le fusionner avec zêta)--Dfeldmann (d) 28 novembre 2009 à 14:31 (CET)

Hormis la définition de la fonction zêta et le fait qu'elle s'étende à C-{1}, n'a rien à faire dans cet article car ne concerne pas directement la conjecture. Que l'on dise que les zéros non triviaux sont répartis symétriquement par rapport à 1/2, qu'ils sont conjugués, oui. Que l'on donne la relation fonctionnelle en renvoyant où il faut, oui. Que l'on s'aventure à donner la formule de pi(x) sous le prétexte qu'elle s'écrit avec les zéros de zêta, je te signale que toutes les fonctions classiques s'écrivent ainsi. Cela n'a donc rien de remarquable et doit être éliminé. Cette formule à sa place par contre dans un article sur les zéros de zêta ou dans un article sur pi(x). Après cela, il y a tant à dire qu'il faut se limiter. Point d'hypothèse de densité ni d'hypothèse de Lindelöf, ni de région sans zéro. Les vérifications numériques oui, bien sur. Les critère équivalents à l'hypothèse de Riemann, oui. Les conséquences de l'hypothèse, oui. les hypothèses généralisées oui, un petit mot mais pas plus. Les tentatives oui. Les difficultés de l'affaire (si tenté qu'on puisse en parler), oui. Cela fait déjà beaucoup de chose à dire. Titchmarsh le fait en 1951 en 47 pages !Claudeh5 (d) 28 novembre 2009 à 16:06 (CET)

Désolé, mais dans un article sur la conjecture, l'histoire de la dite conjecture (et en particulier son origine) me semble vaguement importante, et tu me sembles (un peu) de mauvaise foi à ce sujet. D'ailleurs, si on va par là , on peut (et je l'ai fait) énoncer la conjecture sans utiliser le prolongement, grâce à la série en (-1)^n/n^s. Pour le reste, je suis d'accord, quelque chose de complet serait difficile, et ta proposition me convient assez (sauf qu'il va falloir s'y mettre). --Dfeldmann (d) 28 novembre 2009 à 18:20 (CET)

Son histoire ? oui. Mais cela est plus compliqué qu'on croit. Quant à son origine, elle est somme toute très simple. Riemann découvre la relation fonctionnelle. Il sait donc qu'il y a des zéros dans la bande [0,1] répartis symétriquement par rapport à 1/2 et par rapport à l'axe réel. Où doit-il chercher ces zéros ? Le plus simple est de les situer sur l'axe 1/2 ! Il ne faut pas aller plus loin dans les motivations de Riemann. Maintenant est-ce vrai ? C'est une autre histoire. Quant à la "mauvaise foi", je ne vois pas ce que tu veux dire. Ayant écrit les deux articles fonction zêta de Riemann et histoire de la fonction zêta de Riemann en partant quasiment de zéro, j'ai tout mis ou presque. Tu as un lecteur qui trouve qu'il y a déjà "à peu près tout ce qu'on peut rêver de dire sur l'hypothèse de Riemann elle-même" dans un des deux articles et qu'il n'est pas nécessaire de faire un article supplémentaire qui se devrait d'être encore plus complet.Claudeh5 (d) 28 novembre 2009 à 21:14 (CET)

Mais c'est là qu'on diverge complètement (pas sur la question de l'origine, dont je te donne bien volontiers acte, même si j'ignore à quelle date Riemann calcule le premier zéro). Tu as probablement remarqué que j'ai mis ces deux articles en "Voir article détaillé" respectivement dans les deux premiers paragraphes : c'est bien que je pense 1) qu'ils sont trop détaillés pour une première approche 2) qu'il ne répondent justement pas à l'aspect conjectural du problème. Comparons avec un article (hypothétique) sur un sujet que je connais mal (mais dont j'ai entendu causer) : l'existence de monopôles magnétiques. Je n'aimerai pas qu'on m'explique que tout est déjà dans les articles d'électrodynamique quantique, de théories de jauge, etc. , vu que ,au contraire, je demande une initiation à la problématique, aux enjeux, à l'état de la recherche, etc. , les détails techniques étant probablement hors de ma portée, et devant au minimum m'être balisés...--Dfeldmann (d) 28 novembre 2009 à 21:36 (CET)

La question que tu soulèves est effectivement d'une autre nature, celle de l'initiation. La réponse que je vais te faire n'est probablement pas celle que tu veux entendre: C'est une encyclopédie. Ce n'est pas un cours ni un lieu d'initiation à proprement parler. Qu'il y ait des articles d'initiation, pourquoi pas. Mais l'essentiel est de donner un résumé des connaissances actuelles aussi complet que possible. J'ai déjà proposé pour les articles dont le niveau dépasse l'enseignement élémentaire une proposition qui consiste à faire autant d'articles emboités que nécessaire, en approfondissant chaque fois les connaissances et en supposant acquises certaines connaissances. Cette proposition a été faite sur le Thé. Mais il me semble qu'elle n'a pas eu de réponse... Mais je veux bien en doner un exemple sur ce thème, exemple que je créerai dans une page de brouillon sur ma page perso. Juste pour voir.Claudeh5 (d) 28 novembre 2009 à 22:45 (CET)

Mais je vois pas du tout le problème, là : il s'avère que, par nature, cet article se retrouvera rédigé comme une initiation, vu qu'il va, par nature, renvoyer à des articles plus détaillés... dans sa partie technique. Désolé, pour moi, l'article "quadrature du cercle" doit renvoyer à la preuve technique de son impossiblilté, et se concentrer sur l'histoire de la question. Au mieux, l'article "hypothèse de Riemann" peut se scinder en articles plus détaillés, si besoin est , genre : état actuel des recherches ; conséquences, autres hypothèses liées. Et au fait, où sont les fonctions L, les conjectures de Weil, et le programme de Langlands ?--Dfeldmann (d) 29 novembre 2009 à 16:34 (CET)

L'hypothèse de Riemann ne concerne que la fonction zeta de Riemann et fonctions en résultant. Elle ne concerne pas les fonctions L, le programme de Langlands, ni les conjectures de Weyl qui ne sont en rien des cas particuliers de l'hypothèse de Riemann. D'autre part, je ne comprends pas ton point de vue. Un article dans une encyclopédie ne peut être un article d'initiation mais se doit d'être un résumé du savoir sur le point traité. Bref, tu rédiges ton article comme tu l'entends, je rédige le mien de mon côté et on comparera. Éventuellement on demandera au Thé ce qu'ils en pensent.Claudeh5 (d)29 novembre 2009 à 20:54 (CET)

Ben ,si, pourtant : les conjectures de Weil sont en un sens très précis une généralisation de RH (voir l'intro de l'article correspondant), et c'est bien le point : comment un lecteur ignorant leur existence peut-il au moins s'y voir renvoyé ? (ou alors, nous n'avons décidément rien de commun dans notre vision de ce qu'est une encyclopédie : un moyen de parcourir le cercle des connaissances...). Quand à cette histoire de résumé du savoir ... Au minimum, on se doit de donner aussi des clès d'accès : voir à ce sujet les remarques de la préface de l'Universalis (première édition)

Non. Tu ne lis pas corresctement les choses: dans l'article il est dit "La tâche principale était que ces fonctions zêta devaient être des fonctions rationnelles, devant satisfaire une forme d'équation fonctionnelle, et devaient avoir leurs zéros dans des endroits restreints. Les deux dernières parties étaient tout à fait consciemment modélisées sur la fonction zêta de Riemann et l'hypothèse de Riemann."

ce qui signifie ceci: 1/ les fonctions zeta locales sont des fonctions rationnelles, or la fonction zeta de Riemann n'est pas une fonction rationnelle. 2/ les conjectures de Weyl ont été modélisées sur la fonction zeta de Riemann et l'hypothèse de Riemann. Modéliser signifie ici copier par analogie, ce qui ne signifie nullement que les conjectures de Weyl ont un rapport étroit avec la fonction zeta de Riemann. En effet celle-ci n'est pas un cas particulier, loin s'en faut, d'une fonction zeta locale sur un corps fini. Donc pas de rapport, autre qu'un vague plan de similarité de problèmes, entre les deux conjectures. D'ailleurs, les conjectures de Weyl ayant été démontrées en 1973 par Deligne, s'il y avait un cousiange assez sérieux entre les deux, on aurait démontré depuis longtemps l'hypothèse de Riemann.Claudeh5 (d) 29 novembre 2009 à 21:40 (CET)

D'abord, c'est André Weil (et pas Hermann Weyl). Ensuite, la plupart des exposés oraux sur la conjecture de Riemann mentionnent que la principale raison d'y croire est la véracité de l'hypothèse de Riemann sur les corps finis, et les doutes au sujet des stratégies envisagées (comme celles de Connes) viennent de ce que l'approche ne permet pas de redémontrer ce résultat (pour les courbes).

Bon, et la fonction zêta p-adique, tu la mets où ? Quand à ta deuxième remarque, je crains bien qu'elle soit assez peu sérieuse : pour prendre un exemple proche de notre sujet, montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme 6n+1, de la formz an+b, et de la forme n^2+1 semble assez similaire ; un exemple un peu plus lointain : le théorème des sept couleurs sur le tore est assez facile à démontrer...--Dfeldmann (d) 29 novembre 2009 à 22:22 (CET)

Bon, eh bien vas-y. A titre de curiosité, il faut attendre le 19e siècle et Dirichlet pour démontrer qu'il y a une infinité de nombres premiers dans une suite arithmétique an+b avec pgcd(a,b)=1, alors que les démonstrations particulières sur des suites arithmétiques sont déjà connues depuis fort longtemps. Dirichlet pour cela doit inventer un nouvel outil pour le faire, ce qui montre bien qu'il ne s'agit pas d'une simple généralisation "assez similaire" des cas particuliers. Au fait, "à ma connaissance", montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme n²+1 est encore un problème ouvert.Claudeh5 (d) 29 novembre 2009 à 22:42 (CET)

Pas de doute, on se comprend mal. Évidemment, je savais fort bien que les trois problèmes "analogues" que je citais étaient respectivement triviaux (la preuve d'Euclide s'adapte au cas 6n+1), difficiles et résolu par Dirichlet (et je ne sais pas s'il existe une preuve "élémentaire", c-àd sans passer par les variables complexes) et ouvert (même si on peut se demander si Tao et les autres ne sont pas en train de trouver des choses sur les suites de nombres premiers polynomiales). De même ,le théorème des 7 couleurs sur le tore (et plus généralemnt le résultat sur toutes les surfaces sauf le plan) est assez facile. Bon, je mentionnais ça pour dire que, en général, c'est dur de dire si deux machins assez (ou vaguement) semblables ont en fait des rapports, une difficulté comparable, etc. Mais tout ça est en train de dériver, et, décidément, je pense que la seule question est de savoir quand j'aurai le temps de compléter l'article comme je voulais le faire ; on verra après si c'est sans intérêt, à recycler ou fusionner, ou autre... --Dfeldmann (d) 30 novembre 2009 à 06:46 (CET)

Relations avec la distribution des nombres premiers

Il est dit dans l'article, à propos de l'hypothèse de Riemann, que « Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers. » C'est une remarque qui est souvent faite. Serait-il possible de donner dans l'article quelqu'explicitation sur ce lien entre hypothèse de Riemann et distribution des nombres premiers ? Merci. ptyxs (d) 9 octobre 2010 à 20:19 (CEST)

A propos des vérifications numériques de la conjecture aux plus grandes hauteurs

Bonjour.Le rédacteur du paragraphe sur les Tests Numériques explique que la certitude sur la vérification de la conjecture à de grandes hauteurs reste relative,compte tenu de la complexité des calculs.Et il dit que la certitude absolue n'est acquise que pour les quelques millions de premiers zéros,admettons 10^7 ?Avec quel degré peut-on chiffrer la certitude sur les calculs les plus hauts ?(comme 10^13 zéros).Merci --90.14.85.68 (d) 30 novembre 2011 à 13:03 (CET)

Bonen remarque, et c'est pas sourcé, si je me souviens bien. A virer--Dfeldmann (d) 30 novembre 2011 à 14:03 (CET)

Merci.En fait,ce passage est bien référencé (travaux de X.Gourdon(2004),qu'on trouve en ligne,mais qui apparemment n'ont pas été publiés encore dans un journal "officiel").A mon sens,un critère de certitude (quasi-)absolue de la vérification à une hauteur donnée est la publication des résultats par un journal "officiel",à comité de lecture,qui doit avoir des conditions,comme le recoupement de résultats produits par deux équipes indépendantes,travaillant chacune avec son programme.Ca ne veut pas dire qu'il est illégitime de citer un résultat référencé.Mais ce qui serait intéressant,c'est que l'auteur du paragraphe puisse préciser,quel est le dernier résultat qu'on peut considérer,ou qu'il considère lui-même comme certifié (consensus définitif pour une hauteur donnée),dans la liste de l'historique.Qu'en pensez-vous?--90.14.85.68 (d) 1 décembre 2011 à 16:34 (CET)

Entre temps, j'ai un peu plus épluché l'article en question, d'où il ressort quand même qu'en fait, on peut plutôt avoir confiance (test globaux, par exemple). Mias c'est, de fait, un point assez secondaire, parce que, en définitive, qu'on ait 10^7 ou 10^13 zéros sûrs, non seulement on n'a pas de mesure de la confiance que l'on peut en déduire pour RH, mais des phrases du style "RH est vraie avec une probabilité de 99%" n'ont, pour autant que je le sache, aucun sens... (en revanche, soit dit en passant, des phrases du style "M. X possède une démonstration du théorème T, qu'il n'a pas publié ; la probabilité que sa démonstration soit correcte est supérieure à 0.999", aussi incroyable que cela puisse paraitre, ont un sens précis, et peuvent être vraies (vor Preuve à divulgation nulle de connaissance)--Dfeldmann (d) 1 décembre 2011 à 17:40 (CET)

Supposez que vous pariez que la conjecture soit fausse,ou que vous n'ayez pas une opinion bien tranchée (je cite,par exemple, Edwards,Riemann's zeta Function,Editions Dover Publications,1974.Il est très réservé quand il aborde la "vérification" numérique (forcément partielle) de la RH,par exemple à cause du phénomène de Lehmer (Lehmer's phenomenon)).Supposez que vous envisagez des pistes contre la conjecture,qui implique une investigation numérique à ces hauteurs;selon que vous savez que telle vérification a fait l'objet d'un consensus "officiel" à 10^7,à 10^13 ou à 10^20.. zéros,la motivation que vous avez,forcément,pourra être changée.Et finalement,votre position.--90.0.183.144 (d) 3 décembre 2011 à 15:48 (CET)

Proposition de contribution de Utilisateur:O.P.G.K, déplacée depuis la page principale

tracé de la fonction zêta de Riemann avec la fonction complexplot3d des deux parties avec les deux relations définissant l'extension méromorphe sur un carré utilisant moins de 1430 mo de mémoire pour le logiciel.

L'effet des pôles en restitue une surface lenticulaire sur laquelle on peut voir différents phénomènes pour les paramètres donnés sur la photo associée.

Explication des tracés : le calcul a été effectué à partir du sujet officiel mis en ligne sur le site de l'institut mathématiques de Clay. Une exception admettant une égalité entre convolution et transformée de Laplace permet de découpler l'intégrale. Les zéros étant retrouvés par emboîtement, l'interprétation graphique laisse penser à une cissoïde, ce qui permet alors de choisir un cas particulier pour la limite infinie à partir de la définition de limite sur des fonctions réciproque. L'intégrale admettant quatre formes de développements séparées, dont une intégrale du type intégrale d'une fonction polygamma, la représentation graphique met ici en valeur l'ensemble des transformations associées à la fonction zêta sur le cas de son extension méromorphe, et porte uniquement sur la substitution de l'intégrale d'Euler calculée sur les formules permettant l'extension méromorphe de la fonction zêta. La lecture de la description du problème est conseillée, et justifie l'absence de contenu mathématiques.

Lien avec la conjecture : Comme je ne parle ni n'écrit dans la même langue que Riemann, contemporain du XIXème siècle, je dirais que ce qu'il a appelé "zéros non-triviaux", ce sont les fluctuations polygamma liées au fait que ces zéros suivent les lois arithmétiques des suites adjacentes. Dans l'ordre, on pouvait dans un premier temps scinder le ciel en constellations, et ensuite s'intéresser à des cas de subdivisions non orientées. Le caractère non-trivial s'explique également sur le choix de spécification de la limite infinie qui suit un modèle géométrique coïncidant sur un graphe de suites adjacentes qu'est la cissoïde droite, et dont la propriété de convolution évolue dans le même espace de Laplace. Dans son ensemble, les zéros sont observables à l'oeil nu, et ont pour partie réelle un demi, puisque la valeur imaginaire pure est de puissance un demi, et de permutation identitaire à son corps d'annulation. Dans le cas d'une limite, on considère alors une cissoïde admettant un défaut, et donc une boucle à l'origine.

(Contribution inappropriée dans l'article à mon avis, en tous les cas sous cette forme, et déplacée ici pour discussion. Sapphorain (discuter) 13 janvier 2016 à 21:01 (CET))

Outre le côté évidemment TI, ça ne vous rappelle pas un peu un machin à la Sokal et Bricmont, c'est-à-dire une suite de mots ayant un rapport avec le sujet, mais en réalité pas de logique sous-jacente; ni même vraiment de sens ? Dès la première phrase : "Une exception admettant une égalité entre convolution et transformée de Laplace permet de découpler l'intégrale", moi, en tout cas, je suis perdu (j'ignore 1) de quoi il parle (convolution de quoi avec quoi ? transformée de Laplace de quoi ? exception à quoi? découpler une intégrale ?) 2) où sont les preuves (ou les résultats bien connus) de cette égalité (dès qu'on saura laquelle) et de ce découplage (quoi que cela puisse être) ?) Canular ? Délire ? Mathématiques du 22^e siècle ? Pas pour Wikipédia en tout cas, me semble-t-il...--Dfeldmann (discuter) 13 janvier 2016 à 21:37 (CET)

P.S. : une lecture attentive de la page utilisateur de O.P.G.K permet sans doute de trancher...--Dfeldmann (discuter) 13 janvier 2016 à 22:01 (CET)

Je n'ai pas grand-chose à ajouter. Tout ceci me paraît effectivement assez délirant. Et de toute façon, jusqu'à preuve du contraire (sources?) il s'agit d'un TI. Sapphorain (discuter) 13 janvier 2016 à 22:05 (CET)

logorrhée de O.P.G.K

Consensus à la Guerre d'édition

Représentation du module de la fonction zêta de Riemann.

En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers.

Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXI^e siècle : elle est l'un des fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, et l'un des sept problèmes du prix du millénaire et des dix-huit problèmes de Smale. Comme pour les six autres problèmes du millénaire, l'énoncé exact de la conjecture à démontrer est accompagné d'une description détaillée, fournissant de nombreuses informations sur l'historique du problème, son importance, et l'état des travaux à son sujet ; beaucoup des remarques informelles de cette page en proviennent.

Fichier:Convolution-Laplace.jpg

Intégrale se découplant à partir de la convolution et de la transformée de Laplace.

Fichier:Intégrale polylog.jpg

Explication entre le polylog et l'orientation graphique par rapport à l'axe.

Fichier:Intégrale zêta-euler.jpg

Brouillon du calcul de l'intégrale d'Euler permettant de représenter graphiquement Zêta.

La fonction zêta de Riemann

La fonction zêta de Riemann est définie pour tous les nombres complexes s de partie réelle strictement supérieure à 1 par $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .\!$

Leonhard Euler l'introduisit (en liaison avec sa solution du problème de Bâle) et montra qu'elle est donnée par le produit eulérien $\zeta (s)=\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots$ où le produit infini porte sur tous les nombres premiers p (et converge, là encore, pour tous les s de partie réelle >1) ; c'est ce résultat qui explique l'intérêt de la fonction zêta dans l'étude de la répartition des nombres premiers (Euler en déduisit par exemple que la série des inverses des nombres premiers est divergente). Par définition de la convergence d'un produit infini, ce résultat montre au passage que la fonction ne s'annule pour aucun s (de partie réelle strictement supérieure à 1).

L'hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction en dehors du domaine de convergence qu'on vient de voir, ce qui peut sembler n'avoir aucun sens. L'explication tient dans la notion de prolongement analytique : on peut démontrer qu'il existe une fonction holomorphe unique définie pour tout complexe (différent de 1, où elle présente un pôle simple) et coïncidant avec zêta pour les valeurs où cette dernière est définie ; on note encore ζ(s) cette nouvelle fonction.

L'une des techniques pour construire ce prolongement est la suivante.

• Il est d'abord facile de vérifier que, pour s de partie réelle > 1, on a : $\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots \ ;$ or la série de droite (appelée fonction êta de Dirichlet) converge pour tout s de partie réelle strictement positive. On prolonge ainsi ζ à tous les s ≠ 1 de partie réelle > 0 (même ceux de la forme 1 + 2ikπ/ln(2) avec k entier non nul, car on montre qu'en ces points, la fonction possède une limite finie).
• On montre ensuite, pour tout s de partie réelle strictement comprise entre 0 et 1, l'identité fonctionnelle $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,$ où Γ est la fonction Gamma d'Euler. Il devient alors possible d'utiliser cette formule pour définir zêta pour tout s de partie réelle négative (avec ζ(0) = –1/2 par passage à la limite).

On en déduit que les entiers pairs strictement négatifs sont des zéros de zêta (appelés zéros triviaux) et que les zéros non triviaux sont symétriques par rapport à l'axe Re(s) = 1/2 et sont tous de partie réelle comprise, au sens large, entre 0 et 1 ; cette région du plan complexe s'appelle la bande critique.

De plus, il n'y a aucun zéro sur l'axe Re(s) = 1 (ce résultat est équivalent au théorème des nombres premiers, voir section historique ci-dessous). Du coup, l'hypothèse de Riemann peut se reformuler ainsi : si 0 < Re(s) < 1 et si s est un zéro de ζ (ou, ce qui revient au même, de η), alors sa partie réelle vaut 1/2.

tracé de la fonction zêta de Riemann avec la fonction complexplot3d des deux parties avec les deux relations définissant l'extension méromorphe sur un carré utilisant moins de 1430 mo de mémoire pour le logiciel.

L'effet des pôles en restitue une surface lenticulaire sur laquelle on peut voir différents phénomènes pour les paramètres donnés sur la photo associée.

Explication des tracés : le calcul a été effectué à partir du sujet officiel mis en ligne sur le site de l'institut mathématiques de Clay. Une exception admettant une égalité entre convolution et transformée de Laplace permet de découpler l'intégrale. Les zéros étant retrouvés par emboîtement, l'interprétation graphique laisse penser à une cissoïde, ce qui permet alors de choisir un cas particulier pour la limite infinie à partir de la définition de limite sur des fonctions réciproque. L'intégrale admettant quatre formes de développements séparées, dont une intégrale du type intégrale d'une fonction polylogarithmique, la représentation graphique met ici en valeur l'ensemble des transformations associées à la fonction zêta sur le cas de son extension méromorphe, et porte uniquement sur la substitution de l'intégrale d'Euler calculée sur les formules permettant l'extension méromorphe de la fonction zêta. La lecture de la description du problème est conseillée, et justifie l'absence de contenu mathématiques.

Lien avec la conjecture : Comme je ne parle ni n'écrit dans la même langue que Riemann, contemporain du XIXème siècle, je dirais que ce qu'il a appelé "zéros non-triviaux", ce sont les fluctuations polylogarithmique liées au fait que ces zéros suivent les lois arithmétiques des suites adjacentes. Dans l'ordre, on pouvait dans un premier temps scinder le ciel en constellations, et ensuite s'intéresser à des cas de subdivisions non orientées. Le caractère non-trivial s'explique également sur le choix de spécification de la limite infinie qui suit un modèle géométrique coïncidant sur un graphe de suites adjacentes qu'est la cissoïde droite, et dont la propriété de convolution évolue dans le même espace de Laplace. Dans son ensemble, les zéros sont observables à l'oeil nu, et ont pour partie réelle un demi, puisque la valeur imaginaire pure est de puissance un demi, et de permutation identitaire à son corps d'annulation. Dans le cas d'une limite, on considère alors une cissoïde admettant un défaut, et donc une boucle à l'origine.

Héritage de la conjecture

« […] es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. »

« […] il est fort probable que toutes les racines soient réelles. Bien sûr, une démonstration rigoureuse en serait souhaitable ; pour le moment, après quelques vagues tentatives restées vaines, j'ai provisoirement mis de côté la recherche d'une preuve, car elle semble inutile pour l'objectif suivant de mes investigations. »

— énoncé par Riemann de l'hypothèse, dans l'article de 1859 ; Riemann y parle d'une fonction obtenue à partir de zêta, dont toutes les racines devraient être réelles plutôt que sur la ligne critique.

Bien que la traduction soit anonyme et n'établisse pas de parallèle avec Emilie du Châtelet, on admet une conjecture en faisant acte de foi d'une erreur de translittération lié aux tables linguistique et de composition définissant actuellement le cadre social, économique et diplomatique. Cette digression vise à mettre en lumière les archaïsmes liés aux citations et aux problèmes de lecture.

Lien avec les nombres premiers : Le problème en cherchant à compter, ou à donner un nombre premier de valeur très élevée, c'est qu'on soit le seul à le connaître. Comme exemple simple, 20275098793714945473835074141758776701364683486090763011671362897278056933121938360155124225268962014646880190 50727645248006848110565869679772761067335533730319514733531842914947511882589079024288689033267672535203984390 839005392608566209059175825740059938409922821=2.027509879*10^264 est premier. Pour des raisons de lecture, j'ai du le nommer "deux neuf mille huit cent un" parce que ce nombre premier deviendrait absurde, avec autant de nombres premiers dénombrables que l'on pourrait avoir en-dessous de cette valeur, avec autant de noms que l'on pourrait avoir, en référence à l'extinction des lignées de Coligny et de Médicis. Il s'agit de rester dans un cadre de lecture commune sans avoir à donner des noms faisant référence à des nombres premiers que l'on ne saura jamais retrouver, tout comme on peut changer de loi opérateur si on sait lire une valeur très supérieure rendant alors les relations pour les premiers nombres premiers absurde à un ordre suffisamment élevé.

Le lien entre un texte en langue allemande et un texte en langue française ne relevant pas nécessairement d'une traduction, mais de travaux communs, cette explication est une alternative à ce cas sans issue, puisque deux individus différents lisant le même texte d'origine ne traduira pas ce texte à l'identique, mais ne remet pas en cause l'héritage qui nous est ainsi transmis.

Il s'agit ici d'une introduction par méthode comparative de différents éléments mis en jeu relevant du même procédé.

Aucune guerre d'édition ne saurait avoir lieu, parce que l'effet Duplain met fin à cet ordre dynastique, et laisse place à l'exposé qui suit.

Riemann mentionna la conjecture, appelée plus tard « hypothèse de Riemann », dans son article paru en 1859, Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse en allemand), dans lequel il donnait une formule explicite pour le nombre de nombres premiers π(x) inférieurs à un nombre donné x.

Exposé détaillé de la formule de Riemann

La formule obtenue par Riemann utilise la fonction associée $\Pi (x)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+\cdots$ qui compte les nombres premiers en ajoutant les puissances pⁿ comptées comme 1/n d'un nombre premier. π(x) peut alors être déduit de cette fonction par $\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-\cdots ,$ où μ est la fonction de Möbius. La formule devient alors $\Pi _{0}(x)=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {Li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log(t)}}$ où la somme est prise sur les zéros non-triviaux ρ de la fonction zêta et où $\Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}$

La somme n'est pas absolument convergente, mais doit être évaluée en prenant les zéros dans l'ordre croissant de leurs parties imaginaires. La fonction Li du premier terme est la fonction logarithme intégral donnée par la valeur principale de Cauchy de l'intégrale divergente $\operatorname {Li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log(t)}}.$

Les termes Li(x^ρ) correspondants aux zéros de zêta demandent un certain soin dans leur définition, car la fonction Li a des points de branchement en 0 et en 1 ; ils sont définis (pour x>1) par prolongement analytique de la variable complexe ρ dans la région Re(ρ)>0, autrement dit, on doit les considérer comme valant Ei(ρ ln x), où Ei est l'Exponentielle intégrale). Les autres termes correspondent aussi à des zéros : le terme dominant Li(x) vient du pôle en s = 1, considéré comme un zéro de multiplicité −1, et les autres petits termes proviennent des zéros triviaux.

Cette formule affirme que les zéros de la fonction zêta contrôlent les oscillations des nombres premiers autour de leur position « attendue ». Riemann savait que les zéros non triviaux de zêta étaient distribués symétriquement autour de l'axe s = ½ + it, et aussi qu'ils devaient tous être dans la bande critique 0 ≤ Re(s) ≤ 1. Il vérifia que les premiers zéros avaient pour partie réelle exactement 1/2 (ce point sera discuté plus bas ; il s'agit bien d'une démonstration, et non d'un calcul numérique approché) et suggéra qu'ils pourraient bien être tous sur l'axe de symétrie (la ligne critique) Re(s)=1/2 ; c'est cette conjecture qu'on appelle l'hypothèse de Riemann.

En 1896, Hadamard et La Vallée-Poussin prouvèrent indépendamment qu'aucun zéro ne pouvait se trouver sur la ligne Re(s) = 1, et donc que tous les zéros non triviaux devaient se trouver dans l'intérieur de la bande critique 0 < Re(s) < 1. Ceci s'avéra être un résultat-clé dans la première démonstration complète du théorème des nombres premiers.

En 1900, Hilbert inclut l'hypothèse de Riemann dans sa célèbre liste de 23 problèmes non résolus : c'est le 8^e problème. Il aurait dit à son propos  : « Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question serait : l'hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée ? ».

En 1914, Hardy prouva qu'il y a une infinité de zéros sur la droite critique Re(s) = 1/2. Cependant il reste possible qu'il y ait une infinité de zéros non triviaux ailleurs. Des travaux ultérieurs de Hardy et Littlewood en 1921, puis de Selberg en 1942 ont donné une estimation de la densité moyenne de zéros sur la droite critique.

Des travaux plus récents se sont focalisés sur le calcul explicite d'endroits où se trouvent beaucoup de zéros (dans l'espoir de trouver un contre-exemple) et de placer des bornes supérieures sur la proportion de zéros se trouvant ailleurs que sur la droite critique (dans l'espoir de la réduire à zéro).

L'hypothèse de Riemann est l'un des sept problèmes de Hilbert non encore résolus, et fut d'ailleurs le seul problème de Hilbert choisi pour figurer dans la liste des problèmes du prix du millénaire de l'institut de mathématiques Clay.

Sur la version actuelle, il y a écrit historique en haut à droite de la page, et historique en tête de sous-section. Si ça ne choque personne, la modification ne vise qu'à rendre plus clair la lecture, puisque sans l'identité du traducteur, la disposition de deux textes écrits dans une langue différente en début de section incluant le mot "historique" contre-dit parfaitement la notion d'histoire. L'Histoire en général fait référence aux archives, et les archives font références aux frontières. La frontière à l'édition, c'est de respecter les gens, et non de les diffamer en sous-entendant qu'ils soient fous à travers des moqueries sans justification.

A titre d'information, le site www.ica.org explique tous ces problèmes, et je ne pense pas qu'un article mathématiques doive comporter de section propre à l'histoire, puisque rien ne prouve que les gens ne connaissaient pas les nombres premiers à une autre époque. Du moins, aucune archive au sens propre du terme ne peut attester de cette donnée, et le sujet ne vise qu'à présenter une autre facette du problème autour des entiers premiers, et non de mentionner naïvement une "guerre d'édition" en commentaire pour une suppression injustifiée parce que la personne est incompétente à un poste de professeur. Internet n'est pas une propriété privée, et si les gens ont mieux à proposer, on reste ouvert à toute proposition, mais on ne conçoit pas que les gens veuillent tolérer ce genre d'anomalie sans réagir intelligemment, ou que ça ne soit réduit à des insultes d'anonymes sans cervelle.

--O.P.G.K (discuter) 14 janvier 2016 à 17:15 (CET)

Vicissitude de l'espace des entiers premiers

Je reste surpris de l'impulsivité des utilisateurs à vouloir absolument suivre un cycle de vicissitude qui devient absurde. Les techniques de cribles sont diverses et variées, et le tableau de valeur dans l'article Hypothèse de Riemann ne mentionne rien après 2004 pour un ordre de dix puissance treize. Or il est aisé par procédure numérique d'aller au-delà de cette valeur, et par recherche sur un rayon d'ordre de grandeur connu de vérifier la présence d'un entier premier. De cette manière, on peut trouver tout d'abord un entier premier d'un ordre très supérieure. Dans mon cas, j'en ai trouvé dans les ordres de la puissance 100 à 264. Une fois ces mesures de rayons réalisées, j'ai pu affiner mes représentations graphique, puisque j'ai effectué une correction de facteur sur le cas de polynômes à coefficients premiers.

Il s'agit d'un polynôme à coefficients premiers, dont la variable suit une loi YZ à partir de deux suites adjacentes, les suites approchant les zéros non-triviaux de la fonction zêta de Riemann, et dont la variable correspond à une équation de vie, soumis à un ordre aléatoire de puissances n, n entier naturel.

Ces résultats établis, je m'intéressais également au nombre sigma, et à une transformation topologique sur la structure des polynômes.

Topologie polynôme à coefficients sigma premiers, suivant une loi YZ à partir des suites adjacentes donnant les zéros non-triviaux de la fonction zêta.

Il est avéré qu'on puisse retrouver sur des exemples des relations non usuelles en substituant le coefficient premier par sa valeur sigma associée à une valeur paramètre donnée. Le jeu de variable étant équivalent à une transformation intégrale, j'ai alors pu continuer à affiner le modèle de représentation graphique. Malheureusement, en procédant ainsi, on est obligé de réduire le nombre de monômes, parce que pour conserver des coefficients premiers, la limite de noeuds ainsi que la limite mémoire sont très sollicitées sans évaluation numérique de ces valeurs élevées.

Il s'agit d'une sélection de monômes issus de la topologie du polynôme sigma premier.La forme compacte peut alors être simplifiée, et donner ce tracé, de développement similaire à celui présenté.

Après avoir affiné ainsi le modèle de représentation graphique par simulation numérique, il s'est avéré que le tableau présenté dans l'article Hypothèse de Riemann soit une preuve empirique de la vicissitude de la société, puisque sur chaque période de découverte, la personne qui avait un ordre de grandeur plus élevé prenait la place du précédent, et ainsi de suite. Pour rester dans le sujet de la répartition des entiers premiers, la fonction zêta s'exprime à partir de l'intégrale d'Euler, et cette intégrale admet des transformations remarquables que j'ai mentionné au préalable. Cette intégrale correspond exactement à une limite infinie d'une combinaison linéaire de fonctions réciproque. La signification du produit eulérien en facteur premiers, ce fut de découvrir qu'en isolant un facteur admettant un entier premier de valeur très supérieure, il soit alors possible à partir de ce facteur de transformer le facteur en produit par divisions successives, et de restituer tous les termes antécédents. De cette manière, j'en ai conclu que pour franchir la valeur minorante pour arriver dans le domaine infini, il fallait alors corréler les valeurs antécédentes réciproques sur le cas de limite infinie, et ainsi obtenir un ordre de restitution approché des valeurs premières. La preuve en est qu'on puisse observer des fluctuations mouvantes sur une surface en rotation, dont l'ordre de vicissitude soit convergente, parce que faisant augmenter l'intensité de la lumière sur sa décomposition spectrale dans l'espace.

Le cas de lecture est venu juste après, parce qu'il est difficile de sauvegarder des entiers premiers de très haute valeur, et que cela demande tout autant de temps que d'appliquer une décomposition à partir d'un terme facteur du produit eulérien si on prend un terme quelconque, donc en particulier un terme de très haute valeur.

L'illustration vise alors à permettre en terme d'application de laisser imaginer une procédure où on pourrait partir du cliché photo de face, et d'obtenir ces vicissitudes par orientation radiale de l'écran, et non plus par orientation avec la souris sur le cas d'une application logicielle. Il s'agit d'un corollaire intéressant, puisqu'il s'agit d'une mise à jour de l'article, et 12 ans plus tard, il semble normal de devoir le recycler, puisque les erreurs d'écriture qu'on y trouve sont plutôt flagrantes en ce sens. --O.P.G.K (discuter) 16 janvier 2016 à 11:36 (CET)

--O.P.G.K (discuter) 16 janvier 2016 à 12:53 (CET) complément : les suites adjacentes données au début annulent la fonction zêta.

Suites adjacentes annulant la fonction zêta.Vérification graphique

--O.P.G.K (discuter) 16 janvier 2016 à 13:17 (CET) --O.P.G.K (discuter) 16 janvier 2016 à 13:39 (CET)

Voici le test de primalité utilisé pour cette procédure.

Nombre premier de très haute valeur

Et voici une illustration de la vicissitude de l'espace des entiers premiers par introduction de zéros arbitraires, et du cas de sa centième succession.

Test évolution des nombres premiers

--O.P.G.K (discuter) 16 janvier 2016 à 13:43 (CET)

Avec l'image et le son autour de la vicissitude, voilà ce qu'on peut obtenir au prix de quelques efforts. En souhaitant une bonne réflexion à nos amis lecteurs quant à l'espace des entiers premiers. --O.P.G.K (discuter) 16 janvier 2016 à 15:14 (CET)

Si j'ai mentionné un conflit de domaine, et que j'ai mis héritage, ça veut dire que tout le monde ne peut pas comprendre. Si tu ne fais pas partie des gens qui ne comprennent pas, alors arrêtes de te cacher avec un statut de bot, puisque tu ne sers pas à grand chose. La mise à jour explique simplement les propriétés de l'espace des entiers premiers en relation avec la fonction zêta, et la relation entre la conjecture qui est vraie avec l'étude des entiers premiers. Le contenu est juste, et je ne vois pas où est le problème ? L'article sur les nombres premiers est plus abordable, et pour un niveau plus avancé, il y a la fonction zêta. Tous les gens ne savent pas compter. Parmi les gens qui savent compter, il y en a qui peuvent compter autrement avec les nombres premiers, c'est tout ce que j'ai expliqué dans ce chapitre. Quel genre de con voudrait présenter un sujet non résolu, alors qu'il est suffisamment complexe pour limiter le nombre de personnes pouvant comprendre le sens des explications qu'on en donne ? --O.P.G.K (discuter) 16 janvier 2016 à 15:34 (CET)

Ma question ne vous est pas adressé et elle n'a pas pour but de savoir ce que raconte votre monologue, elle sert simplement à savoir si les autres comprennent ce que vous écrivez, si personne ne comprends ce que vous écrivez, ça sert à rien de continuer. -- Sebk ^(discuter) 16 janvier 2016 à 15:46 (CET)

 

Quelqu'un comprend ?

Juste pour savoir quelqu'un comprend ce que O.P.G.K raconte, on c'est juste une sorte de verbigération ?? -- Sebk ^(discuter) 16 janvier 2016 à 15:23 (CET)

Moi, moi. J'ai très bien compris. Pour les lecteurs intéressés, toutes les précisions nécessaires à une parfaite compréhension se trouvent dans l'article "Experimental demonstration of the tomatotopic organization in the Soprano (Cantatrix sopranica L.), Georges Perec, Laboratoire de physiologie, Faculté de Médecine Saint-Antoine, Paris, France. Banana Split (Aix-en-Provence, 1980, no 2)". Sapphorain (discuter) 16 janvier 2016 à 15:58 (CET)

Aucun respect pour WP:STYLE#Clair s'il devait y avoir du vrai. Mais je suis plus d'accord avec la comparaison de Sapphorain (d · c · b). « Si tu ne fais pas partie des gens qui ne comprennent pas, alors arrêtes de te cacher avec un statut de bot » : cette double négation est la preuve de quoi ? Après des tentatives de passage en force, ce au copié-collé de ses élucubrations sur cette page de discussion est une honte. Pas besoin que le montre si c'est un retour de Keisersansbamby (d · c · b) ou pas pour souhaiter le blocage infini de ce tout nouvel utilisateur. --Lacrymocéphale (discuter) 16 janvier 2016 à 18:10 (CET)

Ah, merci. Bon, RCU sans doute inutile ; bannissement probable. Plus qu'à soumettre ça à qui de droit, et effacer à vue désormais--Dfeldmann (discuter) 16 janvier 2016 à 18:51 (CET)

Je crois que  O.P.G.K : a surtout passé trop de temps à regarder des plots de $|\zeta (s)|$ sous toutes les coutures :) il aurait dû s'intéresser aussi à la fonction zeta d'Hurwitz qui est le contre-exemple fondamental à tout espoir de preuve élémentaire de l'hypothèse de Riemann, ça l'aurait fait redescendre sur terre. 78.196.93.135 (discuter) 12 novembre 2016 à 12:07 (CET)

Euler et zeta

J’ai modifié le paragraphe relatant les contributions d’Euler, qui pouvait induire en erreurs sur plusieurs points: il laissait entendre qu’Euler avait défini cette fonction pour s complexe, ce qui n’est pas le cas; et également qu’Euler avait établi le domaine de convergence du produit, ce qui n’est pas le cas non plus (Euler ne se souciait en fait pas tellement de convergence, et remarque même dans son article (Cor. I du Th. 7) que zeta(1) est le logarithme de l’infini…). J’ai supprimé également une assertion fausse (ou en tout cas très imprécise) selon laquelle « par définition de la convergence d’un produit infini ce résultat montre au passage que la fonction ne s’annule pour aucun s de partie réelle supérieure à 1 ». Ça n’est en effet pas « par définition », qu’un tel produit infini qui s’annule ne peut pas s’écrire comme une série qui converge, mais par une propriété qu’il faut démontrer.Sapphorain (discuter) 6 mai 2018 à 16:21 (CEST)

Michael Atiyah

En septembre 2018, Michael Atiyah annonce son intention de présenter une démonstration simple de l'hypothèse de Riemann au Heidelberg Laureate Forum (Allemagne). Des mathématiciens interrogés à ce sujet par le New Scientist se sont abstenus de commentaires. Selon le New Scientist, Atiyah a produit dans les dernières années précédant sa déclaration un certain nombre d'articles comportant des assertions remarquables qui n'ont pas convaincu ses collègues.

Signalé à toutes fins utiles. Marvoir (discuter) 24 septembre 2018 à 14:38 (CEST)

Un nouvel angle d’attaque.

Un article récent, Pour la science (n° 501, juillet 2019, p. 16), L’Hypothèse de Riemann vacille mais ne tombe pas, donne des informations qui mériteraient peut-être d’être intégrées dans l’article. En substance :

• George Polya a établi en 1927 l'équivalence de HR avec : « Les polynômes de Jensen sont hyperboliques ». Un polynôme à coefficients réels est dit hyperbolique si ses zéros sont tous réels. Les polynômes de Jensen, en nombre infini, sont définis par deux paramètres, leur degré d et leur décalage n.
• Ken Ono, Don Zagier et deux collègues ont démontré l'hyperbolicité d'une vaste classe de polynômes de Jensen.

Fabrice Dury (discuter) 7 juillet 2019 à 10:09 (CEST)

Pendant un instant, j'ai craint un nouveau crank, mais oui, ça a l'air plus qu'intéressant (en particulier parce que Ken Ono et Don Zagier sont des pointures dans ce domaine). Je regarde la doc (et les références sur les polynômes de Jensen), et je m'en charge.--Dfeldmann (discuter) 7 juillet 2019 à 10:23 (CEST)

Merci. Fabrice Dury (discuter) 7 juillet 2019 à 10:57 (CEST)

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