Discussion:Identité de Lagrange

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Dernier commentaire : il y a 15 ans2 commentaires2 participants à la discussion

Quand je m'occupais de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, j'avais réécrit ce paragraphe anglophone à ma façon. Ce n'est pas sourcé mais je trouve ça bien plus lisible. Est-ce recyclable ici ? Anne Bauval (d) 3 juin 2011 à 21:16 (CEST)Répondre

\begin{matrix} 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2} & = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2} + \sum_{1 \leq j < i \leq n} (a_{j} b_{i} - a_{i} b_{j})^{2} \\ = \sum_{1 \leq i, j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2} \\ = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j}^{2}) + (\sum_{j = 1}^{n} a_{j}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{2}) - 2 (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} a_{j} b_{j}) \\ = 2 (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}) (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}) - 2 {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k})}^{2}, \end{matrix}

ce qui (en divisant par 2) démontre l'identité de Lagrange dans l'anneau de polynômes sur $ℤ$ d'indéterminées $a_{k}, b_{k} (1 \leq k \leq n)$ et par conséquent dans tout anneau commutatif.

Oui, c'est mieux. Bon, c'est un TI, mais je pense que renvoyer à la démo du Net suffira :-) Je recycle aussitôt--Dfeldmann (d) 5 juin 2011 à 13:28 (CEST)Répondre

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