Discussion:Inégalité de Hölder

Le "cas particulier" s'écrit en fait

Le "cas particulier" s'écrit en fait

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}$.

C'est d'ailleurs la définition correcte des normes $L^{p}$, et par la même occasion il n'y a pas lieu de faire la distinction avec $\ell ^{p}$ lorsque $S={\mathbb {N} }$ muni de la mesure de dénombrement. On retrouve bien Cauchy-Schwarz lorsque $p=q=2$.

Roland

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Correction ci-dessus passée dans l'article. Supprimé la remarque suivante sur $L^{p}$ et $\ell ^{p}$ :

Note: pour certains, l'espace ici noté $L^{p}$ est noté $\ell ^{p}$ pour ne pas le confondre avec l'espace des fonctions dont la puissance p-ième est intégrable (qui présente des similitudes avec celui évoqué dans cet article).

En effet la notation $\ell ^{p}$ correspond plutôt au cas particulier où l'espace considéré est ${\mathbb {N} }$ muni de la mesure de dénombrement.

Roland 28 fev 2005 à 11:09 (CET)

Corrections du 4.2.2011

Séparations en chapitres (plus clair à la lecture pour ceux qui ne recherche qu'un aspect). Introduction des conditions d'égalité (qui ne sautent pas aux yeux). Reprise de la démonstration (qui était très bien), mais formulation dans la généralité (pour éviter le bandeau). --Jaccard (d) 4 février 2011 à 22:09 (CET)

Les conditions d'égalité ne sautent tellement pas aux yeux que le Arnaudiès et Fraysse se plante là-dessus. Et après vérification, très peu de livres abordent le cas d'égalité, que ce soit dans le cas discret ou dans le cas continu, je ne l'ai trouvé que dans le Rudin (cas continu). Et encore moins de livres abordent l'inégalité de Hölder avec plusieurs suites/fonctions, je ne l'ai trouvée que dans le Pólya et Szegö. D'autre part dans cet article, je lis dans la démonstration : « Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que tous les $|u_{k}|$ soient égaux. » J'ai des doutes. zrephel (d) 27 novembre 2012 à 11:22 (CET)